THEME: 6-Le signe égal et les signes opératoires
Le signe égal et les signes opératoires
Jusqu'en 4ème, les élèves apprennent à faire des calculs, des opérations en utilisant les techniques opératoires apprises à l'école primaire et en 6ème. Ainsi, pour l'élève, il est naturel d'écrire 4 + 6 = 10, ce qui signifie pour lui que 10 est le résultat de cette opération.
De même souvent les élèves écrivent des suites de calculs qui sont incorrects mais qui traduisent le cheminement de leur pensée : 6x 7 = 42 - 3 = 39 : 3 = 13. Ces calculs sont contextualisés, ils ont un sens dans le contexte d'un problème.
En arithmétique, les signes opératoires indiquent des actions en lien avec une situation, un problème.
Le signe = marque un résultat, il est ainsi vu comme un déclencheur d'opération.
Au collège, l'élève va être confronté à des égalités du type 54 = 3 x 18 qui signifient que ces deux écritures 54 et 3 x 18 sont équivalentes, représentent le même objet.
De plus, cette égalité permet aussi voir que 54 est un multiple de 3.
De même en 4ème on écrira que 3x + 5x + 7 = 8x + 7
ou bien 3(5x - 7) = 15x - 21.
Là encore, ces deux expressions sont équivalentes. On ne peut plus vraiment dire que l'une est le résultat de l'autre.
Avec l'entrée dans l'algèbre, le signe égal change de sens. Les signes d'opérations également.
Mais l'élève, s'il a toujours la conception du signe = comme déclencheur d'opération peut penser que 8x + 7 n'est pas vraiment un résultat et il aura envie d'écrire = 15x, par exemple, pour avoir une expression qui semble être plus conforme à l'idée qu'il se fait d'un résultat.
Il y aura une nouvelle étape en 3ème avec les factorisations quand apparaîtront des écritures du type x2 - 4 = (x - 2) (x +2). Le second membre est alors d'une certaine façon, pour l'élève, plus complexe que le premier.
Il y a donc une rupture entre l'arithmétique et l'algèbre du point de vue du signe = et des opérations.
Il est donc nécessaire de prendre en compte cette difficulté pour l'élève et de lui proposer des activités qui permettront de la dépasser.
Ainsi G. Vergnaud (1988) indique :
L'algèbre constitue pour les élèves une rupture épistémologique importante d'avec l'arithmétique. Cette rupture mérite une analyse détaillée, car beaucoup d'élèves n'entrent pas facilement dans le jeu des manipulations symboliques.
