THEME: 9- Plusieurs versions d’un même énoncé : jeu sur les variables didactiques
Voici deux programmes de calcul :
Victor pense à un nombre, il le multiplie par 4 puis ajoute
5 et il trouve 17.
A quel nombre avait-il pensé ?
Salomé pense à un nombre, elle le multiplie par 4 puis
ajoute 5 et elle trouve 58.
A quel nombre avait-elle pensé ?
Pour les élèves qui savent poser et résoudre des équations, ces deux problèmes peuvent paraître semblables et être résolus de la même façon. En revanche, un élève de 5ème qui est au début de l’apprentissage des équations, qui n’a pas une procédure experte, peut résoudre le premier problème assez facilement en faisant quelques essais avec les premiers entiers et arriver très vite à la solution qui est 3.
Pour le second, il risque d’avoir plus de difficultés s’il emploie cette technique car la solution n’est pas entière et plus grande (13,25). On peut penser (mais ce n’est pas sûr) que le second problème obligera l’élève à changer de procédure et à utiliser celle qui consiste à « remonter les calculs ».
Ces deux problèmes qui peuvent paraître semblables pour un expert ne diffèrent que par la nature de la solution mais peuvent engendrer des changements de procédure pour les élèves. La nature de la solution constitue une variable didactique liée à ce problème. On aurait pu choisir une solution fractionnaire ou bien changer aussi la nature des coefficients (par exemple en multipliant par 4/3)
Pour l’élève, le jeu sur les variables peut engendrer des changements de procédure, pour le professeur ce jeu constitue un levier pour faire évoluer les procédures des élèves sans les imposer. Nous utilisons souvent ce jeu sur les variables dans nos activités. La consigne est familière aux élèves si bien qu’ils entrent rapidement dans la tâche mais le jeu sur les variables les incite à changer de procédures
Enfin, remarquons que la technique de résolution par essai/erreur a une portée moins grande que celle qui consiste à remonter les calculs, qui elle, permet de résoudre tous les problèmes correspondant à des équations du type ax+b = c en utilisant les opérations réciproques mais sans recourir à l’équation.
On peut donc penser que ce type de problème n’obligera pas les élèves à poser une équation, en ce sens il n’est pas pertinent pour motiver l’introduction des équations mais il permet de travailler sur les opérations réciproques.
