THEME:  1 - Les principes

Travailler sur les vérifications qui donnent du sens aux notions

Ce point nous paraît extrêmement important, dans les nouveaux programmes de collège il est indiqué : 

"Dans les programmes de 6^ième, on fournit aux élèves aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs résultats avec un exemple : contrôler des calculs à la machine par des calculs mentaux approchés".

Ici apparaît le terme contrôle qui, pour nous, englobe les vérifications.

Dans le programme de 5^ième: "Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu'on leur attribue des valeurs numériques données". Nous interprétons cette injonction de deux façons : inciter les élèves à vérifier, leur faire rencontrer la notion de variable. En effet, en testant une égalité, c'est–à-dire en remplaçant la (les)lettre(s) par des nombres et en répétant cette opération pour plusieurs nombres, on indique à l'élève que cette lettre représente bien un nombre qui varie et qu'alors la phrase mathématique obtenue est vraie ou fausse. Il y a donc là un double travail tout à fait important pour favoriser la compréhension des élèves et leur entrée dans l'algébrique. Il nous semble tout à fait important que le professeur mette en place dans la classe des types d'exercices qui favorisent ce lien.

Dans le programme de 4^ième, on reprend la même phrase et il est stipulé que l’élève doit “savoir tester un développement ou une factorisation d’une expression littérale par des substitutions de valeurs numériques à la variable en jeu.” Même si le terme vérifier n’est pas utilisé, nous pensons qu’il s’agit ici de faire une vérification des calculs littéraux.

Dans le programme de 2^nde, il est encore indiqué "on explicitera quelques procédures simples permettant d'infirmer ou de confirmer une formule"

Nous avons utilisé nos travaux (S. Coppé (1997)) sur les vérifications et la définition suivante :

“ Dans une situation de résolution de problème, pour une question, un élève a identifié un résultat partiel ou final et il se pose la question de la validité de son résultat. Nous appellerons vérification tout argument avancé ou toute action mise en œuvre par l’élève pour limiter l’incertitude sur le résultat, si l’élève en a besoin, à ce moment-là et dans cette situation. Une vérification a pour conséquence, soit d’accroître la vraisemblance et éventuellement d’acquérir la certitude du résultat, soit d’engendrer un doute plus grand et éventuellement de déboucher sur une phase de rectification. ”

Or une étude des manuels de 4^ème montre que cet objet tester par une valeur numérique ne vit plus dans cette classe. Dans les manuels scolaires de 4^ième, dans le chapitre (ou la partie) Calcul littéral, on ne trouve pratiquement pas d'exercices où l'on teste si deux expressions sont égales en remplaçant par une valeur numérique.
On trouve seulement des exercices du type : " Calculer pour x = 3 la valeur de A = 6x² - x + 8. "
L'objet vu en 5^ième ne vit plus dans les manuels de 4^ième.
Dans le chapitre (ou la partie) Équation, on trouve des exercices du type :
" 3 est-il solution de l’équation : (2x – 3) – x = 0 ? "

Nous faisons l'hypothèse que les auteurs de manuels pensent que les élèves vont naturellement vérifier et qu'ils n'ont pas besoin d'en dire davantage. Nous savons bien que ce n'est pas le cas pour bon nombre d'élèves et notamment ceux qui sont en difficulté. Ceci dit, nous sommes bien conscients que demander une vérification systématique alourdirait énormément les écrits publics des élèves. Il y a donc là une difficulté d'enseignement qu'il ne faut pas nier.

Notons également que vérification et sens ont un lien dialectique : on peut vérifier parce que l'on donne du sens à ce qu'on fait. En vérifiant, on retrouve le sens de ce que l'on fait. Ainsi nous savons bien que dans la résolution d'équations, les élèves ont du mal à considérer que la lettre qui désigne l'inconnue représente le même nombre à chaque ligne de calcul.