THEME: Fonctions
France  -  (pas de niveau associé) ((pas de niveau associé))  -  Maths

But: Rectangle et triangles - Utilité du graphique

Différents buts sont envisageables:

- démarche de recherche: conjecture, preuve

- introduire la résolution approchée ou algébrique d'une inéquation

- mettre en valeur la pertinence de l'utilisation de la représentation graphique (qui n'est pas indiquée dans la consigne) pour résoudre un problème.

- l'apport des TICE: calculatrice, logiciel de géométrie dynamique, tableur

- travailler sur le sens du mot comparer concernant des nombres

- fonction: constante, linéaire et affine

- suivant la formulation de la consigne: travailler sur la modélisation, l'introduction d'une lettre

Réactions d'élèves: Rectangle et triangles - Utilité du graphique

Ils vont demander ce que veut dire comparer.

Ils risquent d'être déstabilisé si c'est la première fois qu'ils doivent traiter une question n'indiquant pas de méthode. A nous de les rassurer et de les inciter en indiquant que toute idée est la bienvenue.

Ils vont peut être penser: à faire des essais, ou à introduire une lettre, résoudre une ou plusieurs inéquations, à faire un graphique ou à raisonner sur des intervalles spécifiques, à utiliser Géogébra ou un tableur pour comparer plein de valeurs.

Ils risquent de bloquer une fois les inéquations résolues.

Le débat argumentatif sera trés riche et nécessitera du temps et une structuration réfléchie des échanges de la part de l'enseignant.

Mise en oeuvre: Rectangle et triangles - Utilité du graphique

Durée: de 1 à 2 h suivant le travail réalisé précédemment avec les élèves.

On peut ou non utiliser un logiciel de géométrie dynamique (CabriGéomètre ou GeoGebra) au vidéo projecteur pour montrer aux élèves ce que signifie que la longueur EH est variable.

• 1^ère étape : on laisse chercher individuellement les élèves (5 min)
• 2^ème étape : rapide mise en commun (5 min) qui permet de constater que la plupart des élèves ont trouvé des expressions algébriques des trois aires.
  
  On choisit ensemble de travailler sur des expressions réduites des ces aires de façon à tous travailler sur les mêmes expressions
  A ce moment il est souvent nécessaire de préciser ce que signifie «comparer» en mathématique (un grand nombre d'élèves pense que cela signifie qu'il faut chercher les valeurs de x pour que les aires soient égales)
  
  
• 3^ème étape : les élèves travaillent de nouveau seuls ou à deux sur la résolution du problème (10 min)
  
  Souvent on constate que la plupart des élèves résolvent alors les trois inéquations...et sont un peu désemparés car ils ne savent pas comment interpréter les résultats qu'ils ont trouvés.
  
  
• 4^ème étape : mise en commun de l'avancement du travail (5 min)
  
  Certains élèves dans la classe auront peut-être fait le lien avec les fonctions et auront pensé à la représentation graphique. Sinon on leur fait constater le manque de visualisation et on leur suggère le passage aux fonctions et à la représentation graphique.
  
  
• 5^ème étape : on demande aux élèves de réaliser les représentations graphiques individuellement et de comparer les aires (10 min)

• 6ème étape : restitution collective du travail et solution du problème (5 min)

Synthèse: Rectangle et triangles - Utilité du graphique

Les institutionnalisations envisageables:

- Le sens du  mot comparer concernant des nombres

- Le lien entre inéquation et fonction

- Des repères élève:

"Pour étudier un grand nombre (voir une infinité) de cas, il peut être utile d'introduire une lettre"

"La représentation graphique d'une fonction est un outil pertinent pour comparer plus de 2 fonctions"

"Un point d'une demi droite peut être repéré par sa distance à l'origine"