THEME: 11 - Les programmes de calcul

 Dans le domaine de la preuve, les programmes de calcul sont utilisés dès le début de la cinquième et jusqu'au lycée avec les objectifs suivants :

• mettre en valeur une démarche de recherche : essais, conjecture, preuve,
• convaincre de la nécessité du passage au calcul littéral pour prouver une affirmation sur une infinité de valeurs,
• montrer l’utilisation des contre-exemples,
• montrer l'intérêt des propriétés algébriques (distributivité simple, double distributivité...) dans le mécanisme de preuve,
• mettre en place des stratégies de modélisation algébrique de problèmes arithmétiques,
• travailler sur les deux aspects procédural et structural des expressions littérales,
• donner une finalité aux techniques de calcul littéral.

 Enfin il est important de remarquer que la nécessité de preuve repose davantage sur le besoin d’explication que de conviction. En effet, en général, les élèves sont convaincus par leur conjecture mais ils cherchent alors à expliquer pourquoi on peut avoir telle régularité qu’il faut d’abord reconnaître (voir Barallobres, 2004).

 Nous avons classé les problèmes en deux catégories :

• ceux qui portent sur la question de l’équivalence de deux programmes :

• soit ils sont équivalents ce qui débouche sur des conjectures toujours vraies, qui permettent de montrer l'intérêt du calcul littéral pour prouver ces conjectures,
• soit ils ne le sont pas et c’est alors la notion de contre exemple qui est mise en avant,

• ceux qui permettent de prouver des propriétés arithmétiques. C’est souvent à cette occasion que l’aspect procédural est travaillé.

a) Équivalence des programmes

 Un des premiers problèmes que nous proposons en classe de 5ème avec des nombres décimaux positifs a pour objectif est de mettre en échec l'idée que « si une conjecture est vraie pour plusieurs nombres, alors, forcément, elle est vraie pour une infinité de nombres ». Cet exercice ne nécessite pas du tout l’introduction d’expressions littérales, il est fait pour travailler l’idée du contre exemple.

Voici deux programmes de calcul. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? «Si on choisit le même nombre pour les deux programmes, le programme 1 donnera toujours un résultat supérieur au programme 2»

Programme 1: Choisis un nombre. Ajoute 3 et multiplie le résultat par 9

Programme 2 : Choisis un nombre. Multiplie le par 0,05. Multiplie le résultat par le nombre choisi

L'institutionnalisation proposée est : « On peut émettre une conjecture en s'appuyant sur plusieurs essais, mais même un grand nombre d'essais ne permet pas de généraliser à une infinité de cas. Par contre, un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. »

 Voici un autre programme qui pourra être utilisé à partir de la 4ème jusqu'en 2nde .

Voici un programme de calcul. Fais plusieurs essais. Le résultat est-il toujours positif ou négatif ?

Choisis un nombre. Soustrais 1. Calcule le carré du résultat. Soustrais 2. Ajoute le double du nombre choisi.

Cette activité nécessite de connaître la notion de carré d'un nombre. Elle peut être utilisée en classe de 4ème en alternative au problème précédent. Dans ce cas, elle fera l'objet de la même institutionnalisation. Elle peut être également utilisée en 2nde, où elle pourra faire l'objet d'une institutionnalisation plus riche :

• « La réponse » à une question n'est pas toujours oui ou non.
• Les solutions d'une inéquation ne sont pas toujours «les nombres plus grands (respectivement plus petits) qu'un nombre précis » : idée fausse répandue chez nos élèves de 3ème.
• Mise en évidence de l'utilité de la représentation graphique d'une fonction, et/ou de la factorisation et d'un tableau de signes.

Toujours en 5ème, nous proposons ensuite des problèmes, très simples au départ, dans lesquels il s'agit de faire réfléchir les élèves sur comment prouver qu'une conjecture est vraie pour une infinité de nombres sachant que l'on ne peut pas tester pour tous les nombres. Notons que ces programmes peuvent être utilisés sans que « la lettre » ait été introduite comme dans l’exemple suivant :

Voici deux programmes de calcul : Compare ces deux programmes. Que remarques-tu ? Ta remarque est-elle vraie pour n'importe quel nombre ?

Programme 1: Choisis un nombre. Ajoute 7 et ajoute le nombre choisi.

Programme 2 : Choisis un nombre. Multiplie le par 2. Ajoute 3 et ajoute 4

L’institutionnalisation porte sur le fait que pour prouver qu'une conjecture est vraie sur une infinité de nombres, il faut s'intéresser non plus au résultat des calculs à faire, mais aux opérations et à leurs propriétés.

 Des problèmes de ce type sont répétés d'abord sur des programmes simples, puis, une fois la lettre introduite sur d’autres, complexifiés de manière à rendre difficile une preuve sans utilisation du langage algébrique. Ainsi, les deux problèmes suivants, plutôt utilisés en 4ème, permettent d'utiliser le calcul littéral en s'appuyant sur la propriété de la distributivité pour prouver. Encore une fois, nous modifions les variables didactiques pour faire évoluer les procédures. Notons que les élèves n’utilisent pas spontanément les expressions littérales mais ils vont, pour expliquer, faire des raisonnements génériques sur lesquels le professeur pourra s’appuyer pour aller vers la généralisation et la preuve.

Voici deux programmes de calcul : Compare ces deux programmes. Que remarques-tu ? Ta remarque est-elle vraie pour n'importe quel nombre ?

Programme 1: Choisis un nombre. Ajoute 7 et multiplie le résultat par 8.

Programme 2 : Choisis un nombre. Multiplie le par 8 et ajoute 56

Voici un programme de calcul : Essaie-le sur plusieurs nombres. Que remarques-tu ? Ta remarque est-elle vraie pour n'importe quel nombre ?

Programme : Choisis un nombre. Ajoute 8 et multiplie le résultat par 3. Enlève 24 et enlève le double du nombre de départ.

Des problèmes plus complexes, comme le suivant, sont proposés en 3ème et 2nde. Ils permettent de travailler la notion d'identité et de faire une distinction explicite entre identité et équation. Ce qui est intéressant dans ce programme est que différentes conjectures peuvent être formulées dont certaines sont plus ou moins faciles à prouver et ne nécessitent pas les mêmes compétences techniques. Par exemple, «le résultat est : « toujours un carré », « toujours le carré du premier plus trois », « toujours le carré du premier plus six fois le premier plus neuf ». On travaille ici sur la reconnaissance d’une expression algébrique et non plus seulement sur le caractère procédural.

Voici un programme de calcul : Fais plusieurs essais. Qu'observes-tu ? Prouve ce que tu viens d'observer.

Programme : Choisis un nombre. Ajoute 6. Multiplie le résultat par le nombre choisi. Ajoute 9.

 Pour terminer cette partie, voici un travail spécifique pour introduire les identités remarquables en classe de 3ème. Notons tout d’abord que dans la plupart des manuels, les identités remarquables sont introduites dans le sens du développement (qui correspond au sens de leur preuve). Mais elles apparaissent alors aux élèves comme des outils peu pertinents (voire inutiles) puisqu’ils connaissent la double distributivité qui leur permet de développer des carrés. Nous avons donc choisi d’introduire les identités remarquables dans le sens de la factorisation. Dans ce cas l’usage des identités se révèle pertinent notamment pour la résolution d’équations ou d’inéquations. De plus, comme pour la règle de la distributivité, si l’on travaille dans un cadre algébrique avec des nombres relatifs, la deuxième identité remarquable  (a-b)2 est inutile. Nous avons donc fait le choix de ne pas la donner.

 La première identité remarquable, qui donne lieu à une propriété inscrite dans le cours, est introduite par le programme de calcul suivant.

Choisis deux nombres quelconques.  Calcule le carré de chacun. Additionne les carrés. Puis ajoute deux fois leur produit.

 Voici une production d’élève qui montre la nature des nombres qu’il prend pour les essais. En choisissant ces nombres l’élève va remarquer des régularités qui lui permettent d’établir une conjecture et de se convaincre que cette conjecture est vraie puisqu’elle est établie avec des nombres de natures bien différentes.

Dans cette autre production, on remarque les deux formulations de la conjecture de l’élève en langue naturelle et avec le symbolisme mathématique. Plus généralement, on peut remarquer que dans cette classe, sur toutes les conjectures proposées, les quantificateurs sont présents. Cela tient vraisemblablement au travail fait en amont avec les autres programmes de calcul, mais aussi la manière de formuler l’énoncé. Ici, « quelconque » désigne l’ensemble des nombres que les élèves connaissent).

Lors de l’institutionnalisation nous proposons une autre symbolisation qui nous permet, en dépassant la traditionnelle formule, de montrer qu’elle peut être appliquée à des expressions littérales.

Quels que soient les nombres ou expressions mis à la place de ou de  on a

b) Prouver des propriétés arithmétiques

 Outre l’intérêt de travailler sur les preuves en algèbre, nous proposons des preuves portant sur des propriétés arithmétiques. Cela nous permet de travailler sur l’expression algébrique de deux nombres entiers consécutifs, de nombres pairs ou impairs, de multiples de …, etc. Encore une fois, des activités sont proposées dès la classe de 5ème.

Voici un programme de calcul : L'affirmation « ce programme donnera toujours un résultat impair » est-elle vraie ou fausse ?

Programme : Choisis un nombre entier. Ajoute son suivant

Ensuite et jusqu’en 2nde , on pourra proposer les activités suivantes :

Voici un programme de calcul. Réalise plusieurs essais. Rédige une conjecture et prouve-la !

Programme : Choisis quatre nombres entiers consécutifs. Calcule le produit du premier et du quatrième. Calcule le produit du deuxième et du troisième. Calcule la différence des deux produits.

Choisis trois nombres consécutifs. Calcule le carré de celui du milieu. Soustrais le produit des extrêmes.

Ou encore

Choisis 2 nombres consécutifs. Calcule la différence entre le carré du second et le carré du premier.

Notons que ce dernier exemple est tout à fait intéressant pour travailler le caractère procédural et structural des expressions littérales puisque le résultat donne toujours un  nombre impair. On pourra donc faire énoncer la propriété suivante « la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair », qui en découle assez facilement même si les élèves l’énoncent davantage sous sa forme procédurale «  la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours deux fois le premier nombre plus 1 » ou bien « la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours la somme de ces deux nombres ». L’énoncé de ces propriétés est fait en lisant l’expression littérale dans le sens classique de la lecture de gauche à droite. Mais si on la lit dans le sens de droite à gauche, on obtient « tout nombre impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs ». Ceci permet alors relancer le problème en donnant un nombre impair et en cherchant les deux nombres consécutifs.

D. Conclusion

 En partant des différentes études sur l’enseignement actuel de l’algèbre au collège, nous avons fait l’hypothèse que les savoirs algébriques risquaient d’être morcellés ou atomisés, que les types de tâches algébriques pouvaient se révéler isolées, avec des finalités assez pauvres. Ceci nous a conduit dans un premier temps à élaborer des activités pour lesquelles l’introduction de la lettre se révélait sinon indispensable mais au moins fortement utile. Nous utilisons maintenant les programmes de calcul comme un outil qui nous permet de travailler sur la progression des apprentissages dans le temps et nous avons commencé à élaborer une organisation mathématique portant sur les équations et sur les preuves en algèbre. C’est ce que nous avons présenté ici.

 Mais ce travail suppose des changements dans la gestion et l’organisation de la classe. Par exemple, l’organisation de l’année en chapitres s’en trouve fortement modifiée : certains chapitres classiques tels « calcul littéral » ou « équations » étant travaillés tout au long de l’année. L’évaluation est, elle aussi, plus progressive, sur l’année et aurait donc un caractère plus formatif.

 Une autre question porte sur les techniques successives qui sont introduites : on a vu que celles-ci peuvent évoluer par un jeu sur les variables didactiques mais il n’est pas toujours facile de modifier ces variables compte-tenu des connaissances mathématiques des élèves sur les nombres ou sur les techniques de calcul littéral ou de résolution d’équations. Nous n’avons notamment pas parlé des nombres relatifs dans cet article, mais ceux-ci sont déterminants dans notre organisation mathématique. Nous voyons donc qu’un travail important reste à faire.

 Enfin, cette recherche envisage une perspective globale sur le collège et il montre qu’il nécessite des changements importants dans les pratiques des enseignants. Comment intervenir en formation initiale et continue pour à la fois initier des questionnements mathématiques sur l’algèbre comme savoir à enseigner et sur les pratiques ? La recherche collaborative nous semble être une piste de réponse à cette question.