THEME: Produire des formules
France - Cinquième - Maths
Activité 1: Les allumettes
Nous avons fait le choix d'utiliser l'activité des carreaux colorés plutôt en classe de 4ème car elle est très riche et certaines classes produisent des formules comportant de la double distributivité.
Voici donc une autre activité dont le but est la production de formule.
Avec des allumettes, je construis des triangles selon le modèle ci-dessous 
Combien faut-il d’allumettes :
- à la première étape pour construire 1 triangle ?
- à la 2ème étape (pour construire 2 triangles) ?
- à la 5ème étape (pour construire 5 triangles) ?
- à la 10ème étape (pour construire 10 triangles) ?
- à la 100ème étape (pour construire 100 triangles) ?
- à la 265ème étape (pour construire 265 triangles) ?
Trouver une façon de calculer le nombre d’allumettes nécessaires en fonction du nombre de triangles construits.
Pour aller plus loin :
On peut demander combien de triangles sont construits avec 251 allumettes, puis avec 502 allumettes et leur faire remarquer que le nombre d’allumettes doit toujours être un nombre impair d’après l’expression littérale trouvée.
En prolongement :
Nous avons déposé sous l'onglet prolongement une adaptation de cette activité, mise en œuvre à Genève en classe de 10e, équivalent de la 4e. Les triangles deviennent des cabanes de plage...
But: Les allumettes
But de cette activité
Montrer l'intérêt et la nécessité, de trouver une formule dans laquelle une lettre est introduite.(principe 1)
Ne pas désigner trop tôt les quantités variables par une lettre.(principe 2)
Favoriser les liens entre des textes en langue naturelle et des expressions algébriques.(principe 3)
Travailler sur les vérifications.(principe 4)
Travailler sur les formules.(principe 5)
Mise en oeuvre: Les allumettes
Mise en œuvre :
Séance d’une demi-heure en cinquième :
Les élèves travaillent seuls ou par deux pendant 10 à 15 minutes. On peut inciter ceux qui ne démarrent pas à faire des dessins et à chercher le nombre d’allumettes pour 6, 7, 20, 30 triangles
On passe ensuite à une mise en commun au tableau.
Réactions d'élèves: Les allumettes
Analyse de l’activité
Tous les élèves n’arrivent pas à une formule générale mais beaucoup ont trouvé un procédé de calcul et ont réussi à calculer le nombre d’allumettes pour 100 ou 265 triangles.
L’idée de procédure basée sur la proportionnalité, il faut 2 fois plus d’allumettes pour 10 triangles que pour 5, 10 fois plus pour 100 triangles que pour 10, qu’un élève ne manquera pas de proposer pourra être rapidement mise en échec.
Voici quelques exemples de production des élèves :
Si je fais 10 triangles alors je fais 10 x 2 +1 pour 20 triangles 20 x 3 +1
ou du même genre pour 10 triangles je fais 10 x 3 – 9 pour 20 triangles 20 x 3 - 19
et leur formulation plus générale :
Nombre de triangles x 2 + 1
Nombre de triangles x 3 moins (nombre de triangles moins 1)
Pour 3 triangles il faut 7 allumettes pour 10 il faut 7+ 2 x 3 allumettes car on rajoute 2 allumettes par triangle et l’écart entre 7 et 10 est 3.
Si l’utilisation de la lettre n’apparaît pas, ce sera l’occasion de l’introduire et de montrer que les différentes formules obtenues sont équivalentes en les faisant fonctionner :
On pourra faire calculer le nombre d’allumettes nécessaires pour 653 triangles de 3 façons différentes par exemple.
Synthèse: Les allumettes
Synthèse :
En mathématique , pour désigner un nombre quelconque, on utilise une lettre.
Cela permet d’écrire des formules .
Pour nombre nécessaire d’allumettes on utilise la formule n x 2 + 1
Prolongement: Les allumettes
activité adaptée par FB à Genève avec une classe de 10e (équivalent 4e)
