THEME: 3- La distributivité
Ressource 1: Une propriété d'algèbre
La propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition est introduite formellement en classe de 5e, dans la partie 2 (Calcul numérique), mais il n'y a que peu de types de tâches en lien et elle peut donc être assez vite oubliée par les élèves puisqu'ils ne voient pas son utilité. Or, c'est elle qui permet de justifier toutes les règles de calcul littéral, de développement et de factorisation. Nous pensons qu’il faut faire vivre cette formule en classe de 5e pour qu'elle prenne tout son sens, c'est–à–dire autrement que pour faire des calculs de différentes façons.
De plus la double distributivité est introduite en 4e et les identités remarquables en 3e. C’est aussi à ce niveau que l’on met l’accent sur la factorisation. Mais il faut bien noter que lorsque l’on transforme l’écriture de ax±bx en (a±b)x, ce qui est souvent désigné par « Réduire », on opère bien une factorisation de x en appliquant la distributivité. Or dans les manuels, « Réduire » est très souvent défini par « réduire une expression algébrique, revient à l’écrire avec le moins de termes possibles », ce qui ne donne donc pas de technique pour le faire. On indique la forme finale mais que signifie « le moins de termes possibles » ? On peut craindre qu’inciter les élèves à réduire le nombre de termes les amènent à l’erreur classique : « pour tout x, 3x+5 = 8x ». De la même façon, pour développer et factoriser, les manuels mettent en avant dans leur cours l’idée de « transformation d’écriture » plutôt que l’application de la propriété. Par exemple, « Pour développer une expression, on transforme un produit en une somme » ou bien « Développer une expression, c’est l’écrire comme une somme algébrique ». Or « transformer » n’indique pas comment et là encore l’élève qui passe de 3(x+5) à 3x + 5 a bien transformé un produit en somme.
Conclusion
Un travail sur la distributivité (autre que seulement donner la formule) doit être fait en classe de 5e et repris en 4e et 3e au fur et à mesure que d’autres notions sont introduites (notamment la multiplication des relatifs en 4e).
De plus, en 5e, la formule de distributivité est donnée avec ses deux formulations (addition et soustraction) :
« Sur des exemples numériques/ littéraux, utiliser les égalités k(a+b) = ka +kb et k(a-b) = ka -kb dans les deux sens. L’intégration des lettres dans ce type d’égalité est une difficulté qu’il faut prendre en compte. Elle s’appuie sur des situations empruntées aux cadres numérique et graphique. ». BODepuis l’école primaire, par exemple pour introduire la technique opératoire de la multiplication, les élèves ont l’habitude d’utiliser cette formule de façon intuitive dans un cadre arithmétique. Au collège, en 6e et 5e, on va plutôt faire du calcul réfléchi comme 101x 24 ou 99 x 32. A ce moment, il est essentiel d’avoir les deux égalités qu’on peut illustrer par les aires.
En revanche, si l’on travaille dans un cadre algébrique avec des nombres relatifs, seule l’égalité avec l’addition est nécessaire. Nous pensons que donner ces deux formules peut se révéler être une difficulté pour les élèves notamment pour les procédures de contrôle sur les signes. En effet, si l’on fait un contrôle par les signes opératoires, dans une perspective arithmétique, tant que k est positif, cela ne pose pas de problème : kx (a + b) = ka + kb mais ce n’est plus le cas lorsque k est négatif et cela brouille les vérifications. Bien sûr c’est l’introduction de la multiplication des relatifs qui va permettre de ne donner qu’une seule formule.Conclusion
La propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition doit être énoncée et institutionnalisée à plusieurs reprises : une première fois en classe de 5e dans le cadre arithmétique du calcul réfléchi avec les deux formulations pour rendre d’une procédure mise en œuvre ; une seconde fois en fin de 5e quand les nombres relatifs ont été introduits et en classe de 4e avec une seule formule après la multiplication des relatifs.
Enfin, l’étude des manuels de 5e montre que dans le cours la distributivité n’est pas mise en évidence comme par exemple, les théorèmes de géométrie : La propriété de distributivité est institutionnalisée avec différentes désignations : règle, propriété, égalité vraie, identité ou bien seulement citée et entourée par un cadre avec une importante utilisation d’ostensifs : flèches, couleurs pour distinguer somme et produit. C’était également le cas dans les manuels de la période précédente. L’ensemble de référence des nombres sur lequel porte la propriété n’est pas toujours indiqué : par exemple, « a, b et k représentent 3 nombres ». Enfin, la distributivité n’est pas toujours première, elle peut être précédée par le type de tâches « développer ou factoriser une expression littérale donnée ». Ces deux types de tâches sont séparés, la distributivité pouvant être spécifiée selon chacun. Ceci contribue, selon nous, à accentuer l’atomisation des tâches. (Assude et al., ibid)Il est étonnant de constater qu'un travail didactique important est fait pour les démonstrations en géométrie, en exigeant notamment l'énoncé explicite des théorèmes ; or ce travail n'est pas repris en algèbre comme si les règles, les théorèmes étaient alors moins importants ou comme si le calcul fonctionnait sans règles. Nous touchons là un point important qui concerne les automatismes de calcul. D'une part, il est important que les élèves acquièrent des automatismes de calcul qui leur permettent de faire des calculs rapidement sans avoir à citer les règles : c'est le propre des automatismes. Mais d'autre part, on peut penser que durant l'apprentissage des règles du calcul algébrique, le professeur porte une attention particulière à la justification des calculs par les règles.
