THEME: 1 - Les principes
Ressource 3: Principe 3
Favoriser les liens entre des textes en langage naturel, des expressions numériques et des représentations géométriques pour donner du sens à certaines expressions algébriques
R. Duval définit et utilise la notion de registre sémiotique. Ainsi un objet (mathématique pour nous) peut être représenté dans différents registres (décrit en langue naturelle, illustré par un dessin, défini dans un langage symbolique). Chaque registre permet de travailler sur l'objet d'une façon particulière associée à ce registre, mais l'objet n'est jamais la somme de ses représentations dans les divers registres.
Un exemple assez simple est celui des fonctions : ainsi on peut définir une fonction à l'aide d'une phrase en langue naturelle (ex la vitesse est fonction du temps) à l'aide d'une formule algébrique, d'une courbe, d'un tableau de valeurs, d'un graphe, etc. Or, ces registres ne sont pas tous équivalents et nous ne pouvons pas travailler de la même façon dans chacun.
R. Duval définit deux types d'actions : le traitement (on travaille dans un seul registre, par exemple quand on fait du calcul algébrique) et la conversion (on change de registre, par exemple quand on met en équation un problème et qu'on le résout). Enfin R. Duval montre que l'apprentissage d'une notion passe par les changements de registres et donc que les activités de conversion sont fondamentales.
En ce qui concerne l'algèbre, nous pensons qu'il est important de trouver des activités qui vont permettre de travailler les passages entre la langue naturelle, les écritures algébriques et les dessins géométriques.
Dans les manuels scolaires, nous trouvons le plus souvent les deux types d'activités suivantes qui prennent en compte ces changements de registres : d'une part, associer une phrase en langue naturelle (A est la somme de 8 et du produit de 5 par x) et une expression algébrique (A = 8 + 5x).
D'autre part, nous trouvons l'illustration, qui sert souvent de justification, de la formule de la double distributivité par les aires de rectangles : il est important de s'assurer que les élèves ont compris que le produit de 2 nombres ab se représentait et correspondait au calcul de l'aire d'un rectangle de côtés de longueur a et b.
On pourrait également se poser la question de la représentation de 2a : un rectangle de côtés de longueur 2 et a ou bien un segment de longueur double du segment de longueur a ?
Un autre exemple concerne la traduction par une écriture algébrique des propriétés des nombres entiers : comment écrire un nombre pair ou le suivant d'un nombre ou un multiple de 5, etc ?
Nous choisissons de travailler ces activités de conversion pas seulement pour elles mêmes mais à l'occasion de résolutions de problèmes. De plus il est important de favoriser la verbalisation des élèves pour qu'ils aient l'occasion de passer d'un registre à un autre.
