THEME: Vers la preuve
France - Cycle 4 - Maths
Activité 2: Le tour de magie
« Aujourd’hui, je vais tenter un tour de magie, un tour de transmission de pensée avec l’un d’entre vous. Avant tout, je vais vous demander de fermer les yeux et d’obéir silencieusement à ma voix :
Le professeur s’assure que chaque élève est concentré dans ses calculs et sa réflexion. Il choisit un(e) élève à l’aise en calcul mental.
« Vous pouvez maintenant ouvrir vos yeux. Voici une enveloppe cachetée. Elle contient la réponse de votre camarade …
Mathémagique !! »
Mise en oeuvre: Le tour de magie
Une séquence d'une heure
1er temps (10 min) : Le tour de magie, par le professeur.
2ème temps (10 min) : Échange collectif. Comment fonctionne ce tour ?
3ème temps (20 min) : Recherche individuelle puis en équipe. La conjecture est-elle vraie ou fausse ? Pourquoi ?
4ème temps (10 min) : Analyse des réponses, bilan de séance.
Réactions d'élèves: Le tour de magie
1er temps (10 min) : Le tour de magie, par le professeur.
2ème temps (10 min) : Une fois le tour réalisé, la majorité de la classe prend conscience que le Kiwi a été très souvent choisi. Le professeur relève cette observation et interroge ses élèves sur cette récurrence. Le lien logique entre le kiwi, le pays et le nombre obtenu, à l’issu du programme de calcul, est établi par les élèves. L’étude des cas ne donnant par le kiwi peut permettre d’examiner des erreurs de calcul mental. Enfin, peut-être qu’un élève proposera un autre fruit … Finalement, la conjecture suivante est proposée et acceptée majoritairement par la classe :
Quelque soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme est toujours 4.3ème temps (20 min) : Il s’agit d’étudier mathématiquement la conjecture précédente. Les élèves réfléchissent individuellement, à l’écrit, avant de travailler en équipe. La question est de savoir si cette conjecture est vraie ou fausse, et pourquoi ? Chaque équipe doit rédiger une preuve écrite, détaillée. Elle sera présentée et soumise à l’ensemble de la classe.
Les productions réalisées peuvent être de nature différente : Réponses numériques : La conjecture est refusée à l’aide d’un contre-exemple numérique. La conjecture est validée par plusieurs essais numériques. Réponses « littéraires » : Le nombre de départ s’élimine car il est ajouté puis soustrait. Quand on multiplie 8 par 4, soustrait 4, diviser par 4, soustrait 4, on trouve 4. Le nombre de départ s’élimine car il est triplé, puis ajouté une fois, avant d’être divisé et d’être soustrait. Réponses littérales : Le nombre de départ est représenté par un symbole ou une lettre. Le programme est appliqué à cette variable.
4ème temps (10 min) : Chaque proposition de preuve est examinée. Les erreurs, numériques et littérales, sont corrigées et un bilan est rédigé collectivement :
Un contre-exemple valide est une preuve en mathématique. Le recours à la langue française est moins efficace que l’utilisation de la langue algébrique, plus concise et compréhensible. La lettre, en mathématique, peut être utilisée comme variable. Le signe « = » a différents sens en mathématique. Une expression littérale peut être développée, réduite … en appliquant la distributivité et les règles de priorité opératoire.Synthèse: Le tour de magie
Le bilan qui est rédigé collectivement peut porter sur les points suivants :
Un contre-exemple valide est une preuve en mathématique. Le recours à la langue française est moins efficace que l’utilisation de la langue algébrique, plus concise et compréhensible. La lettre, en mathématique, peut être utilisée comme variable. Le signe « = » a différents sens en mathématique. Une expression littérale peut être développée, réduite … en appliquant la distributivité et les règles de priorité opératoire.
