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mercredi 23 août 2017
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THEME: 10 - Les fonctions en 2nde

En classe de seconde, les élèves rencontrent l'objet « fonction » de façon plus générale qu'au collège même si dans les programmes de 2008 on ne se contente plus d'étudier les seules fonctions  linéaires et affines  dont les représentations sont bien particulières puisque ce sont des droites. En revanche, les élèves peuvent avoir rencontré d'autres courbes soit en statistiques, soit dans d'autres disciplines comme les sciences physiques, les sciences de la vie et de la terre ou la géographie.

En seconde, des objets nouveaux autres que les expressions algébriques et les graphiques sont introduits comme les tableaux (de valeurs et de variation). Progressivement, on va  habituer les élèves  à passer d'une représentation de la fonction à une autre tout en leur apprenant que ces divers modes de représentation des fonctions ne donnent pas les mêmes renseignements et ne sont pas équivalents entre eux. Par exemple, à un tableau de valeurs correspondent plusieurs courbes ou bien à une courbe correspond un seul tableau de variation.Enfin, en seconde, certaines notions comme image, antécédent, sens de variation, extremum vont être définies, ceci pour préparer ce qui se fera en classe de 1ère.

Pour les fonctions, la classe de 2nde est donc une sorte de transition entre l'étude de fonctions particulières et l'étude générale d'une fonction avec les outils de l'analyse.

Nous pensons que les programmes de seconde depuis 2000 accordent une grande place à ce travail qui permet de passer d'un registre à un autre. Les fonctions ne sont plus seulement vues du point de vue algébrique comme c'était le cas dans les programmes d'avant 1980, mais elles sont également introduites par des situations de la "vie courante", par des graphiques ou par des tableaux de valeurs (ceci peut être accentué par l'usage des calculatrices).

Un premier élément qui fonde les choix que nous faisons pour l'introduction des fonctions est la prise en compte importante des différents registres pour l'enseignement/apprentissage des fonctions. Nous considérons les registres suivants : expression algébrique, graphique, description de situations en langue naturelle, tableaux de valeurs, tableaux de variation.

Un second est, comme pour l'introduction de la lettre, la nécessité de faire apparaître à certains moments, les fonctions comme un outil de résolution de problèmes et non comme un objet. L'objet sera justement défini plus tard en faisant appel aux connaissances provenant des différents registres.

Nous allons présenter ici plusieurs activités issues de la géométrie. La plupart sont connues et déjà publiées dans différentes brochures IREM ou APMEP.

L'une d'entre elles, "le parallélogramme qui tourne" ( Brochure Inter IREM "Maths en seconde, énoncés et scénarios") a l'avantage de ne pas avoir de solution géométrique simple, et la notion de fonction semble le bon outil pour résoudre le problème. C'est une bonne activité d'introduction.

Les autres situations présentées ici sont à notre avis de bonnes situations de réinvestissement. Toutes ces activités débutent par un travail papier crayon et peuvent se terminer ainsi. Ce sont sous cette forme de bonnes activités d'introduction à la notion de fonction.
La première situation ("le parallélogramme qui tourne") est contruite pour introduire la notion de fonction, c'est-à-dire qu'on ne dira pas à l'élève d'utiliser une lettre variable ou une fonction.  Ces outils, lettre et fonction, doivent apparaître comme nécessaire à la résolution du problème.
Les élèves vont d'abord écrire une formule: celle d'une aire. On crée ensuite la fonction par la correspondance entre x et A(x) (formule de l'aire). Cette correspondance ou relation est traduite sous forme de graphique.

Nous pensons qu'un logiciel de géométrie dynamique permet d'aider à ce passage et à surmonter certaines difficultés. C'est au moins une aide pour le passage du cadre géométrique au cadre graphique.

En effet nous introduisons une variable géométrique, souvent la longueur d'un segment et nous lui associons une autre variable géométrique, aire d'un quadrilatère ou autre longueur par exemple. Puis nous changeons de cadre pour demander à nos élèves de considérer ces grandeurs géométriques comme des nombres réels. Le premier s'appelle x le deuxième f(x) et en plus on a une formule qui exprime f(x) "en fonction de x " Ce passage est aussi difficile que la mise en équation d'un problème avec toute la perte de sens que cela comporte : on oublie le problème posé pour placer des points sur un repère, pour regarder les variations de la fonction à travers sa représentation graphique. On est dans le cadre algébrique / graphique.

Le logiciel de géométrie dynamique permet de visualiser sur l'écran de l'ordinateur la variation simultanée et "continue" de la position du point M, de la forme et de l'aire du quadrilatère (aspect géométrique) et du point correspondant de coordonnées x = AM, y = aire du quadrilatère (aspect graphique). Cela permet à l'élève de mieux saisir le lien dynamique entre ces deux cadres. En effet, avec ce logiciel, on peut dessiner sur le même écran, côte à côte, la figure associée au problème géométrique et la représentation graphique de la fonction qui modélise le phénomène à étudier.
A ces deux variables numériques on associe le point P du plan de coordonées (x,y). Enfin lorsque la première variable géométrique (une longueur AM par exemple) décrit son domaine de définition on "voit" le point P laisser une "trace" dans le plan. Cette trace fait découvrir en direct la courbe représentative de la fonction. (Rôle important de la fonction Trace.) Cette trace permet de faire apparaître cette représentation graphique d'une fonction en lui apportant le support du sens que fournit la vision simultanée du phénomène géométrique qui est modélisé par cette fonction.

Nous réinvestissons plusieurs fois cette possibilité de lier dessin et représentation graphique, non seulement en introduction mais aussi plus tard dans l’année. Nos élèves semblent d’ailleurs développer une forme d’expertise dans la représentation d’une image mentale où sont liés le mouvement sur un dessin et la représentation graphique d’une fonction, car même au tableau noir nous pouvons l’évoquer avec eux. Leurs gestes (ils tirent sur des points mobiles) semblent accréditer cette idée.



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