4-La factorisation
Activité: Une proposition pour la 3eme
Nous souhaitons donner du sens à la factorisation en montrant sa nécessité dans la résolution d'équations du second degré et son efficacité dans certains travaux de preuve. De plus, nous avons décidé d'étaler dans le temps le travail sur cette notion.
Dès le début de l'année, par le biais de MET, nous travaillons en parallèle :
- les preuves (programmes de calcul, expressions égales) qui permettent de remobiliser la distributivité. Spontanément, les élèves développent l'une ou l'autre des expressions. Nous les amenons à reconnaître puis utiliser les facteurs communs. Au fur et à mesure, les expressions se complexifient, la factorisation apparaît alors comme un outil plus sûr et plus rapide.
- la résolution d'équation du second degré qui rend indispensable la factorisation des expressions pour se ramener à une équation produit.
Il est à noter que dès l'introduction des expressions littérales, nous avons recours à la notation A(x), qui rend visible l'écart entre une égalité pour une valeur donnée A(3) = B(3) et l'identité A(x) = B(x), vraie pour tout x. Nous explicitons aussi les différents statuts du signe « = », l'égalité identité que l'on peut prouver grâce aux propriétés d'algèbre et l'égalité équation qui est fausse mais pour laquelle on cherche le ou les nombres qui la rende vraie.
Les identités remarquables apparaissent ensuite comme un nouvel outil de factorisation en particulier au service de la résolution d'équations du second degré. De plus, le travail effectué en amont autour de la preuve rend accessible leur découverte par le biais d'un programme de calcul et leur démonstration par les élèves, qui permet donc leur généralisation.
Nous retrouvons et réutilisons la factorisation dans d'autres parties du programme :
- calcul avec des racines carrées
- simplification d'expression de volume
- résolution d'équations du type x²=a
- calcul d'antécédent
- optimisation.