· Montrer l'intérêt et la nécessité, de trouver une formule dans laquelle une lettre est introduite pour déterminer un nombre de carreaux hachurés quelque soit le nombre de carreaux du côté du carré de départ (principe 1)

· Ne pas désigner trop tôt les quantités variables par une lettre.(principe 2)

· Favoriser les liens entre des textes en langue naturelle et des expressions algébriques.(principe 3)

· Travailler sur les vérifications.(principe 4)

· Travailler sur les formules.(principe 5)

Durée : une séance d'une heure

Les élèves travaillent seuls pendant 15 à 20 minutes.
Plusieurs objectifs pour ce moment :

•   Trouver les nombres de carreaux demandés.
  
•   Distinguer les expressions/ formules vraies ou fausses par vérification avec les nombres de carreaux hachurés trouvés (notamment pour les premiers cas qui peuvent être dénombrés).
  
•   Montrer que certaines expressions/formules sont équivalentes.
  
•   Retenir quelques formules littérales qui permettront de déterminer le nombre de carreaux hachurés pour n'importe quel carré.

L'institutionnalisation :

En mathématiques, pour exprimer un résultat qui concerne "une famille infinie" de nombres, on utilise des lettres, des symboles comme x, y, n, a ,t, O… Cette lettre ou ce symbole peut être mis à la place de tous les nombres de la famille étudiée. On a besoin d'utiliser une lettre dans diverses situations, ici pour écrire une formule : par exemple, dans les carreaux hachurés on a utilisé la formule 4n -4 ou 4(n - 1).

A ce moment le professeur peut réintroduire les conventions d'écriture et donner un aspect plus classique aux formules produites.

Analyse de cette activité

Il s'agit de faire découvrir une formule permettant de donner à chaque fois le nombre de carreaux colorés par les élèves. Les premiers cas proposés (c = 5, 6, 10) ont pour fonction de permettre aux élèves de rentrer dans le problème, de comprendre la situation. Ils doivent également permettre de trouver la solution pour ces cas particuliers soit en comptant soit, ce qui est plus intéressant, en trouvant un procédé de comptage qu'ils pourront décrire en langue naturelle ou traduire par une formule ou par une écriture mélangeant les symboles et la langue naturelle (voir des exemples ci-dessous).

Le choix des nombres suivants (100 et 123) a pour but de provoquer l'abandon de la procédure de comptage pour aller vers le cas général. De plus, nous avons choisi de proposer 100 après 10 pour mettre en échec une idée de procédure basée sur la proportionnalité ("il y a 10 fois plus de carreaux hachurés pour un carré de côté 100 que pour un carré de côté 10").
Le travail qui aura été fait précédemment sur les réductions d'expressions simples sera utilisé pour travailler sur l'équivalence des formules.

Les expressions /formules produites

Nous avons filmé deux séances (une en 2003 et une en 2004) et nous avons obtenu les réponses suivantes des élèves :

x - 1 = y x n = z
c x 4 - 4
(c - 1) x 4 ou n - 1 x 4
c + (c - 1) + (c - 1) + (c - 2)
n + n + n + n - 2 - 2
côté x 4 - 4
(n - 2) x 2 + n x 2
(n + n) + (n - 2) + (n - 2)
n x n - 4
On multiplie par 4 les côtés puis on soustrait 4
On additionne 2 côtés opposés puis les 2 autres côtés et on soustrait 2
Je multiplie par 4 car il y a quatre côtés puis j'enlève 4 car il y a 4 coins.

Nous pouvons constater que les élèves utilisent soient des expressions en langue naturelle qui décrivent comment on va compter les carreaux, soit des expressions algébriques avec la lettre c qui représente "des carreaux" (ou n qui est une lettre familière) et avec des signes d'opération bien identifiés (ce qui montre que les élèves de 4ème utilisent encore des connaissances arithmétiques, très liées aux calculs numériques bien qu'ils aient appris les conventions d'écriture). Notons que ces formules ne sont pas réduites car nous pensons qu'elles expriment à la fois (ou surtout) le procédé de comptage et le résultat. Enfin, d'autres ont des procédures mixtes qui mélangent des signes opératoires et le mot côté.

La première formule (expliquée par l'élève qui l'a produite) est en fait un procédé de calcul : x est le nombre de carreaux de chaque côté, on lui enlève 1 (c'est le coin) cela donne un nombre appelé y que l'on multiplie par n qui est le nombre de côtés d'un carré et cela donne un nombre z.
On voit nettement sur cet exemple que l'élève a l'idée d'une procédure de comptage qui est correcte, qu'il utilise le signe = comme un résultat d'opération (c'est pourquoi il note z le résultat, comme si on ne pouvait en rester à y x n) et qu'il tente d'écrire des formules telles qu'il en a vues.