Cette activité est à proposer en 2nde
ABCD est un rectangle AB = 8 ; BC = 4,5
M est un point du segment [AB]
N est un point du segment [BC]
P est un point du segment [CD]
Q est un point du segment [DA]
Avec AM = BN = CP = DQ
Où faut-il placer M pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit la plus petite possible ?
Différents buts sont envisageables:
- Faire apparaître les fonctions comme outils de résolution de problème
- Faire travailler les élèves sur la notion de fonction: ensemble de définition, expression "en fonction de x ", tracé et lecture de la courbe représentative, étude des variations ...
- Insister sur la démarche de recherche
Les TICE:
- Passage du cadre géométrique au cadre graphique
- Lecture simplifiée des variations et de leur interprétation
- Rôle important de la fonction TRACE de GEOGEBRA/CABRI (puis de Lieu)
* Durée:
Une heure et demi en TP (papier-crayon), puis synthèse la séance suivante dans une salle munie d'un vidéo projecteur.
* Analyse:
La fonction mise en jeu est un trinôme.
Voir l'analyse complète de cette activité que l'IREM de Lyon a déjà fait plusieurs fois. On pourra en particulier relire MATHS EN SECONDE : Enoncés et scénarios (pages 49 à 58), Bulletin Inter-IREM-Second Cycle.
De plus, nous retrouvons toutes les possibilités de commentaires et d'analyse que nous avons développé dans l'introduction générale.
* Déroulement:
Nous commençons l'activité par un temps individuel d'une dizaine de minutes au moins. Aprés une mise au point pour une bonne dévolution du problème, nous continuons par un travail de groupe (3 ou 4 élèves). Prévoir un module de 1h30. On guide un peu les élèves vers la construction d'un tableau de valeurs, dans lequel à chaque valeur choisie pour AM, on associe l'aire de MNPQ. Puis on demande une représentation graphique de ce tableau de valeurs. Ceci conduit à une approche plus "rapide" de la valeur AM cherchée, avec la présence ou non de l'expression algébrique de la fonction. Les élèves ont à finir pour la séance suivante leur recherche de la "meilleure" valeur.
La séance suivante est en classe entière et les résultats sont recueillis au tableau. C'est à ce moment que nous présentons au vidéo projecteur.
Pour cette activité la valeur exacte 3,125 est trouvée par un nombre assez important d'élèves. (Un groupe a un jour conjecturé la valeur Pi). En général la validation proposée par la lecture sur l'écran est convaincante. Si des preuves plus formelles sont attendues par quelques élèves, nous utilisons la forme canonique, comme nous l'indiquons dans l'article indiqué ci dessus.
* Réinvestissement
Le travail précédent est immédiatement réinvesti dans un petit devoir à la maison. Nous vous proposons deux choix: les triangles rectangles d'hypoténuse donnée, ou les triangles isocèles de côtés donnés (voir optimisation, seconde). Dans ces deux activités on demande aux élèves de prouver si possible, et en général par une méthode géométrique, que la valeur trouvée est bien la valeur exacte attendue. C'est la différence apportée par ces deux autres situations : elles ont une solution géométrique. L'outil fonction n'est pas le seul moyen pour un élève de seconde de résoudre le problème.
*Document distribué aux élèves
L'animation Géogébra qui permet d'associer le déplacement de M sur [AB] au déplacement d'un point d'abscisse AM et d'ordonnée l'aire de MNPQ.