La proportionnalité

Pays: France

Niveau: (pas de niveau associé) ((pas de niveau associé))

Matière: Maths

Activité: Le boulanger

Visite chez le boulanger : fiche élève

Les outils du boulanger pour la fabrication du pain :

Le pétrin dans lequel il mélange les ingrédients et pétrit la pâte. En général le pétrin a une cuve de 50 L c'est-à-dire qu'elle peut contenir 50L d'eau et les quantités correspondantes des autres ingrédients.
La peseuse-diviseuse qui découpe la pâte en pâtons tous identiques
Le four dans lequel le pain sera cuit. Il possède 4 niveaux indépendants contenant chacun 80 baguettes au maximum.

Les ingrédients nécessaires à la fabrication du pain :

Avec 50 L d'eau, on mélange 60 kg de farine, 1,4 kg de sel, 0,6 kg de levure.

Les différentes étapes

1) La pâte est préparée et pétrie dans le pétrin. Lorsqu'elle est prête la peseuse-diviseuse la découpe en pâtons (baguettes crues) de 350g. Le boulanger surveille ces opérations qui durent 45 minutes.

2) Les chariots chargés de baguettes crues sont ensuite entreposés pendant 4h dans une pièce à 25 °C. C'est ce qu'on appelle « le temps de pousse »ou l'apprêt,un temps qui est nécessaire avant la cuisson de la pâte. L'apprêt peut être différé en conservant les pâtons à 4°C

3) A la fin du temps de pousse, les chariots sont enfournés pendant 25 min.

Question 1 :

a) Avec un pétrin complet combien fabrique-t-on de pâtons ?

b) Combien faut-il de temps au boulanger pour fabriquer 320 baguettes, 160 baguettes, 100 baguettes, 500 baguettes, 2 fournées complètes ?

On se propose d'étudier deux aspects de la fabrication du pain : sa durée de fabrication dans la question 2 et les quantités d'ingrédients dans la question 3.

Question 2 :

a) Compléter le tableau suivant

Nombre de baguettes	100	160	320	500	640	1600
Temps de préparation							8 h

b) Représenter cette situation dans le graphique fourni.

Question 3 :

a) Compléter le tableau suivant

Nombre de baguettes	100	160	320	500	640	1600
Quantité de farine

b) Représenter cette situation dans le graphique fourni. Quelles remarques peut-on formuler ?

En prolongement sur « l'efficacité du graphique » on pourra poser quelques questions complémentaires aux élèves sur les durées en utilisant le graphique ou une autre méthode.

Peut on répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique ? Si oui donnez la réponse, si non peut-on trouver la solution autrement ?

1) A quelle heure doit débuter la journée du boulanger pour que nous ayons du pain tout chaud au petit déjeuner vers 7h ?

2) En 6h combien le boulanger peut-il faire au maximum de baguettes ?

3) Si le boulanger fabrique des baguettes de 1h à 9h non stop quelle quantité maximum de baguettes peut-il fabriquer ?

But: Le boulanger

Objectifs

Proposer une activité sur une situation concrète et complexe permettant aux élèves d'aborder différents aspects de la proportionnalité ainsi que des situations non proportionnelles : mise en défaut pour les élèves des associations :« tableau<-->proportionnalité » et « graphique<-->droite »

Position par rapport aux principes

Cette activité est en lien avec les principes suivants :

Principe 1 : Proposer des problèmes nécessitant les notions introduites
Principe 2 : Proposer des problèmes dans lesquels on n'indique pas la méthode de résolution
Principe 3 : favoriser les changements de registre	Dans ce problème, on relie plusieurs facettes de la proportionnalité : tableau, graphique, éventuellement formule. De plus les élèves doivent schématiser la situation (en particulier pour les durées)
Principe 4 : Encourager les vérifications qui donnent du sens aux notions.
Principe 5 : travailler sur les formules pour préparer la notion de fonction	Écrire la quantité de farine en fonction du nombre de baguettes, la durée en fonction du nombre de fournées
Principe 6 : travailler les activités de preuve	Non concerné
Principe 7 : Justifier les calculs par l'utilisation des règles d'algèbre

Mise en oeuvre: Le boulanger

Modalités de travail possibles

Matériel :

La fiche et des graphiques préparés sur du papier millimétré.

Pour la durée de préparation en fonction du nombre de baguettes, l'échelle peut-être 1 cm → 100 baguettes en abscisse et 1cm → 50 min en ordonnée (en marquant 1h aussi).

Pour la quantité de farine en fonction du nombre de baguettes, l'échelle peut-être 1 cm → 100 baguettes en abscisse et 1cm → 30 kg de farine en ordonnée.

On pourra proposer aux groupes des transparents avec les graphiques pour l'exploitation lors de la synthèse.

Recherche (1h) :

La question 1 est cherchée individuellement. Suit une mise en commun du calcul du nombre de baguettes (question 1) a) ). Cette première question pose plusieurs difficultés aux élèves :

50 L d'eau pèsent 50kg
conservation de la masse en mélangeant les ingrédients
Calcul d'une 4ème proportionnelle (on connait la masse totale et la masse d'une baguette)

Enfin, le reste de la recherche se fait en groupe. La question 2 pose de nombreuses difficultés aux élèves :

Les éléments que l'on ignore doivent-ils être inventés ou laissés de côté (durée de préparation des ingrédients, pause du boulanger, durée de manutention pour emmener les pâtons de la salle de pousse au four, possibilité pour le boulanger de faire d'autres produits …)
La durée de cuisson est-elle fonction du nombre de baguettes (quand on fait cuire moins d'ingrédients la cuisson est moins longue mais dans notre cas, les baguettes sont toujours toutes identiques) ?
Quand le boulanger pourra-t-il commencer sa deuxième fournée ? ( certains groupes pensent que le boulanger ne peut faire qu'une fournée après l'autre : il y a donc proportionnalité, d'autres pensent qu'il commence la fournée suivante quand la précédente est en salle de pousse ce n'est donc pas proportionnel)
Le nombre de baguettes est-il proportionnel au nombre de fournée ? (sous la forme plus souvent : peut-on remplir le tableau en utilisant la proportionnalité ? Si c'est un tableau, c'est forcément proportionnel mais comme la situation ne l'est pas, peut-on remplir ce tableau ?)
Comment représenter un graphique à partir d'un tableau (abscisse/ordonnée ….) ?
Quelle est la forme du graphique : certains points semblent être alignés … On peut proposer aux élèves de calculer plus de valeurs que dans le tableau (en particulier en réfléchissant sur les valeurs « bornes » : 320/321, 640/641 ...)

Ces questions nécessitent beaucoup de temps de débat entre les élèves, il convient de rappeler aux élèves qu'ils doivent aboutir à la fin de la question 2 au moins à la fin de la séance.

La question 3 porte sur une situation de proportionnalité, situation plus simple pour les élèves, qu'ils pourront donc terminer chez eux.

Synthèse (En deux temps)

Dans une séance suivante, il convient de faire une première synthèse sur la compréhension de la situation. En effet, les élèves se partagent en deux groupes : ceux qui ont pensé que le boulanger pouvait recommencer une fournée dès le 1er temps de préparation terminé et ceux qui pensent que le boulanger ne commence sa deuxième fournée que quand les premières baguettes ont fini de cuire. Pour l'intérêt de l'exploitation graphique, il est nécessaire que tous les élèves se rangent à la première proposition. Il peut être alors utile de représenter les étapes chronologiquement avec un axe pour chaque fournée, en traçant les axes décalés vers la droite les uns au dessous des autres. On remarquera alors que le début de la 2ème fournée a lieu 45 min après le début de la première et ainsi que la deuxième fournée est terminée 45 min après la première fournée. On pourra ainsi corriger le tableau illustrant le temps de préparation en fonction du nombre de baguettes et inviter les élèves à faire davantage de calcul chez eux pour représenter la situation le plus précisément possible en reprenant en classe entière les éléments du dernier item de la recherche. Pour la séance suivante, les élèves doivent terminer les graphiques individuellement.

Dans une autre séance, on commencera par reprendre les différentes durées de chaque fournée en insistant sur les valeurs « bornes » et on projettera différents graphiques proposés.

Certains élèves remarquent que les points représentant la durée en fonction du nombre de fournées complètes sont alignés (est-ce une situation de proportionnalité ?) mais pas avec l'origine du repère (La représentation graphique de la proportionnalité avait été vu en SVT). Cette idée est étayée par les calculs : si on met les 4h25min (pousse + cuisson) « en plus » on obtient la durée de n fournées en multipliant 45 par n. Les 4h25min « empêchent » d'avoir une situation de proportionnalité mais les point sont quand même alignés grâce à la « part proportionnelle » de la situation.

Synthèse: Le boulanger

Synthèse : (institutionnalisation)

On peut représenter les données d'un tableau par un graphique, les valeurs de la première ligne du tableau correspondent aux abscisses des points, les valeurs de la deuxième ligne aux ordonnées des points.
Si le tableau représente une situation de proportionnalité, le graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. Ou : une situation de proportionnalité est représentée par des points appartenant à une droite passant par l'origine du repère.
Un tableau ne représente pas toujours une situation de proportionnalité.
Un graphique n'est pas forcément une droite
Une même situation peut être modélisée de différentes manières :

Si on considère la durée en fonction du nombre de fournée on obtient une situation affine -discrète- (représentée par des points alignés entre eux mais pas avec l'origine du repère)
Si on considère la durée en fonction du nombre de baguettes, on obtient un graphique en escalier.

On a choisi un modèle pour représenter la réalité et pour cela on a volontairement ignoré certaines informations.

Réactions d'élèves: Le boulanger

Bilan

Les élèves ont été intéressés par ce problème et les débats entre les élèves ont été très vifs.

Les associations : « tableau<-->proportionnalité » et « graphique<-->droite » sont très difficiles à « casser », comme le montre certaines réflexion d'élèves de 3ème : « ce n'est pas un graphique puisqu'il ne représente pas une situation de proportionnalité » ou dans la classe durant le travail en groupe : « peut-on remplir un tableau qui n'est pas un tableau de proportionnalité ? » ; cependant, en considérant la synthèse formulée par les élèves, il me semble que de nombreux élèves gardent une image différente à l'esprit.

La réalisation du graphique a été difficile pour de nombreux élèves (ils ont d'ailleurs ressenti la nécessité de l'expliquer dans la synthèse) mais les différents graphiques travaillés leur ont permis d'être plus à l'aise ensuite.

Les différentes formulations des calculs de durée ont permis d'aboutir à l'écriture de formules dans lesquelles les élèves ont reconnus une part fixe et une part proportionnelle (vers la notion de fonction affine) notion qu'ils ont réinvestie dans d'autres exercices du chapitre.