Vers les équations

Pays: France

Niveau: (pas de niveau associé) ((pas de niveau associé))

Matière: Maths

Activité: Un rectangle, trois énoncés

Niveau(x) concerné(s) : de la 4ème à la seconde

Adaptation de l'exercice 76 p.136 du livre de 4ème Triangle (Hatier 2002)

1er énoncé :
2ième énoncé
(on change les variables):

3ième énoncé :
(en classe de seconde)

Un rectangle ABCD
est tel que :
AB = 5 cm et AD = 4 cm.

E est le point du segment [AB] tel que AE = 2 cm.

M est un point du segment [BC].

Où faut-il placer M pour que la somme des aires A1 et A2 soit égale à l'aire A3 ?

On trouve BM = 1,5 cm

Un rectangle ABCD
est tel que :
AB = 8 cm et AD = 4 cm.

E est le point du segment [AB] tel que AE = 3 cm.

M est un point du segment [BC].

Où faut-il placer M pour que la somme des aires A1 et A2 soit égale à l'aire A3 ?

Dans ce cas, on trouve 20/13

On peut proposer :
AB = a ; AD = b et AE = c

Puis on demande d'écrire BM en fonction de a, b et c.

Dans ce cas, on trouve :
(ab-bc)/(2a-c)

Mise en oeuvre: Un rectangle, trois énoncés

Dans le premier cas, on trouve que BM est décimal simple, ce que l'élève peut éventuellement trouver en tâtonnant alors que dans le deuxième cas BM est non décimal, ce qui peut (doit) obliger les élèves à passer à une méthode algébrique.
Enfin le troisième problème peut être proposé en classe de 2nde pour amener les élèves vers des expressions littérales plus complexes.
Voici donc un exemple de problème qui se traite dans le cadre algébrique, qui peut être posé avec ses différents énoncés, soit les uns à la suite des autres pour favoriser le changement de procédure, soit dans différentes classes avec différents objectifs de travail.

Réactions d'élèves: Un rectangle, trois énoncés

Dans la résolution ci-dessous, l'élève de 3ème utilise l'algèbre. Il définit la lettre comme étant la longueur BM et indique son domaine de validité. Il traduit bien la dépendance entre BM et MC.

Cette algébrisation est nécessaire car la solution est rationnelle.