Énoncé du problème

Mise en oeuvre: Triangle isocèle dans triangle

Analyse

On commence en donnant le problème sous cette dernière forme qui propose un cas général. Dans cette version, le cadre algébrique n'est pas privilégié et on se place dans un cas général vrai pour tout triangle. Le but du problème est alors changé par rapport à l'énoncé d'origine, puisqu'il s'agit de montrer un résultat général :

Étant donné un triangle ABC quelconque, M un point du segment [AB], la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N. Le triangle BMN est isocèle en M si et seulement si N est sur la bissectrice de MBC .

Dans les trois classes, après 10 à 15 minutes de recherche, la solution géométrique n'est pas trouvée par les élèves. Ceci est certainement normal car il faut procéder par analyse et synthèse et cette procédure n'est pas habituelle dans notre enseignement actuel. L'analyse demande de supposer le problème résolu, de tracer le segment [BN] et de découvrir ainsi que (BN) est la bissectrice de . On part de la conclusion ! méthode souvent déconseillée voire interdite au collège.

Il est important de remarquer que le segment [BN] n'est pas tracé dans l'énoncé et bien que la question : « Où doit-on placer M pour que le triangle BMN soit isocèle en M ? », indique ce triangle BNM, les élèves le tracent rarement. Nous retrouvons là une difficulté de la démonstration.

Cependant, dans toutes les classes, les élèves évoquent le théorème de Thalès, ce qui est normal car les élèves reconnaissent cette configuration mais ils ne peuvent pas l'appliquer (à ces niveaux de classe) puisqu'ils n'ont aucune mesure. Le professeur peut donc s'appuyer sur ces remarques et donner des mesures pour aider les élèves à trouver une solution particulière et pour les amener à la généralisation par ce procédé.

On propose alors l'énoncé suivant aux élèves, comme aide à la résolution en tant que cas particulier :

Trouver une solution numérique dans le cas particulier suivant : AB = 9 cm, AC = 7 cm et BC = 6 cm.

Les élèves introduisent alors BM = MN = x, si toutefois dans la classe le contrat « introduire une lettre pour trouver une valeur inconnue » a été mis en place, sinon c'est un bon moment pour le faire. On trouve ainsi puis

Il est alors intéressant de faire remarquer que la longueur AC = 7 cm n'a pas été utilisée. On peut donc choisir n'importe quel autre nombre positif avec la seule condition de l'existence du triangle, c'est ce qui va nous aider à la généralisation.

Trouver une solution géométrique valable dans tous les triangles.

Le problème n'est donc pas fini. Reprenons maintenant un triangle ABC quelconque, c'est-à-dire revenons à l'énoncé initial. Cette distinction entre cas particulier numérique et cas général sans mesure prend du sens dans cet exercice. Dans le cas numérique précédent, les élèves doivent « inventer une lettre » pour résoudre le problème et utiliser aussi le théorème de Thalès qui appartient plutôt au cadre géométrique. Trouver une nouvelle procédure va donc être difficile. En effet, ils doivent ici « inventer un segment », le segment [BN] qui n'est pas mis en avant dans l'exercice. Une aide du professeur sera certainement nécessaire, mais pas initialement imposée. Finalement, ils terminent seuls, et la découverte de la bissectrice est une surprise et un plaisir dont il ne faut pas les priver en laissant suffisamment de temps pour chercher.

Quelques remarques

Comme de nombreux problèmes, nous voyons qu'il peut être résolu dans les deux cadres, géométrique et algébrique, et qu'il permet de mobiliser plusieurs connaissances exigibles au collège. De plus, les résolutions dans les deux cadres sont assez éloignées : c'est ce qui fait selon nous, sa richesse. Son but didactique peut être de montrer mais surtout d'articuler ces deux méthodes de résolution par le biais de la distinction cas particulier/général.

Dans toutes les classes où nous l'avons testé, il a été nécessaire d'aider les élèves mais selon leurs besoins à différents moments. Il nous semble donc tout à fait intéressant de faire chercher ce problème en classe, suivant le scénario que nous avons développé, plutôt qu'à la maison où les élèves risquent de passer à côté de la généralisation avec la première version ou de ne rien faire avec la deuxième. Nous avons notamment trouvé intéressant de considérer à la fois le changement de cadre et l'articulation général /particulier/général comme une aide à la résolution.