Dès la sixième, la recherche de complément ou les opérations à trous peuvent consister en une première approche des équations, le travail portant cette fois sur l'idée de chercher l'opération réciproque. L'utilisation des flèches peut prendre ici tout son sens.

On montre alors aux élèves que pour démonter le calcul on utilise l'opération « inverse » de chaque opération du programme en commençant par la dernière.

Pour préparer les élèves à l'abstraction, nous proposons régulièrement, et dès la sixième, des écritures littérales dont on demandera aux élèves de les « démonter » dans le but de les faire réfléchir aux opérations et aux priorités correspondant à une écriture.

• Quelles transformations fait-on subir à k pour avoir ...k/6 + 2
• Comment retrouver z si je connais 5 x ( z + 2)

Cela permettra d'avoir recours au vocabulaire somme, produit ...

• 56 est la somme de 12 et du produit de 2 par ...?
• 68 est la différence entre ...?.et 17.

Nous donnons ensuite le programme sous la forme d'une phrase, en 5ème, seulement avec l'opération réciproque.

• Quel est le nombre qui, ajouté à 8, donne 24 ?
• Je pense à un nombre, je lui enlève 12 et j'obtiens 34. Quel est ce nombre ?
• Je cherche le nombre qui lorsque je lui ajoute 4 et que je multiplie le résultat par 9 donne 63

En 4ème, nous proposons des programmes de calculs agissant sur l'inconnue dans les deux membres. Nous avons ainsi un enchaînement de plusieurs exercices dans lesquels nous modifions les variables didactiques pour permettre aux élèves de trouver, dans un premier temps, la solution par tâtonnement (solution entière, simple), puis de les amener intuitivement vers les règles d'opérations sur les égalités. On continue avec des problèmes ayant les mêmes solutions pour permettre aux élèves de comprendre ces règles. Durant ce travail, qui est très en amont du chapitre sur les équations, aucune formalisation n'est exigée.

Voici un exemple d'une telle progression.

• Trouver x tel que si je le multiplie par 5 et que j'ajoute 2, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 6 (solution entière, trouvée souvent par tâtonnement)
• Trouver x tel que si je le multiplie par 6 et que j'ajoute 5, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 7 (solution fractionnaire nécessite d'avoir mis au point certaines stratégies)
• Trouver x tel que si je le multiplie par 5 et que j'ajoute 5, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 2 et que j'ajoute 7 (solution identique à la précédente, les élèves peuvent remarquer une relation entre les équations)
• Nina et Nino choisissent un nombre, Nina lui ajoute 3 et multiplie le résultat par 5 et Nino le multiplie par 6 et retranche 10. Ils trouvent le même résultat. Quel est ce nombre ?

Ou avec la procédure calculette
Nina et Nino ont chacun une calculatrice. Ils ont « tapé » le même nombre.
Ensuite, Nina a appuyé sur les touches :

et, Nino a appuyé sur les touches :

Surprise ! Ils obtiennent aussi le même résultat ! Quel nombre ont-ils bien pu choisir ?

La complexité augmentera en 3ème en travaillant sur les inéquations et les équations produit.