Vers les équations
Pays: France
Niveau: (pas de niveau associé) ((pas de niveau associé))
Matière: Maths
Activité: Deux triangles, leurs aires...

Adaptation de l'exercice 75 p.136 du livre de 4ème Triangle (Hatier 2002)


E est un point du segment [AB]
(CB) est perpendiculaire à [AB] et BC = 5,6 cm
(DA) est perpendiculaire à (BA) et DA = 2,4 cm

Lorsque [AB] mesure 9 cm, où faut il placer le point E pour que l'aire du triangle BCE soit égale à l'aire du triangle ADE ? 
Mise en oeuvre: Deux triangles, leurs aires...
Les problèmes de points mobiles peuvent se résoudre en changeant de cadre. Il faut traduire la dépendance entre les deux variables.

L'élève a à sa charge le fait de choisir BE = x et surtout EA = 9 - x pour écrire l'équation visée (bien sur le choix peut aussi être EA = x) :
5,6 x = 2,4 ( 9 - x )

Cet apprentissage : choix de x, en déduire 9-x ne peut se faire que si l'élève en éprouve vraiment le besoin parce que la résolution du problème le nécessite et non parce que le professeur l'exige.

Penser à 9 - x est encore plus difficile à faire comprendre que le choix de x. Les élèves proposent souvent 5,6x et 2,4y avec x+y =9, c'est un passage nécessaire qu'il est bon de laisser s'exprimer. Il aide à la compréhension, car dans les premières situations les élèves ne trouvent pas souvent eux-mêmes.

Ce type de problèmes doit donc être proposé en recherche plusieurs fois, en classe et pas forcément à la fin du chapitre. Il peut être intéressant de faire faire des activités de ce type aux élèves dès la classe de 5ème ou le début de 4ème, en choisissant bien les variables didactiques, pour encourager la recherche par essais erreur qui sera mise en défaut ensuite.

Prolongement: Deux triangles, leurs aires...
Toujours avec cette situation et cette figure, nous pouvons proposer des prolongements qui touchent à d'autres parties du programme. Voici quelques propositions : 
  • AB peut-il être égal à 1 ?
  • AB peut-il être égal à 256 ?
  • Exprimer BE en fonction de AB (voici une fonction linéaire pour la classe de troisième !)
     
  • ou encore ne pas donner dans l'énoncé la longueur de [AB], mais poser la question suivante :
    Où faut-il placer E pour que l'aire du triangle BCE soit égale à l'aire du triangle ADE , dans les différents cas suivants ? :
    AB = 7
    AB = 9
    AB= 10
    AB = 24
    AB = 25,6
    AB = 324...
    Tu dois trouver le plus vite possible !
On attend chez l'élève le passage à l'écriture 5,6x = 2,4(AB-x) pour obtenir : 8 x = 2,4 AB ou x = (3/10)  AB.

Pour un élève de 4ème ces écritures peuvent constituer une rencontre avec des lettres ayant plutôt le statut d'inconnue pour x et de paramètre pour AB (sans que ce terme soit employé bien sûr), ou bien, on peut aussi y voir aussi la formule  BE = (3/4) AB, cette écriture étant souvent utilisée au collège, elle peut être aussi un moyen de passer à la fonction linéaire f(x) = (3/4) x.

Réactions d'élèves: Deux triangles, leurs aires...

 
Ci-dessus une recherche par essais erreurs qui aboutit en quatre essais, mais on peut imaginer que plus d'essais ont été fait sans être notés (à la calculatrice). Avoir comme solution un nombre avec une décimale ne suffit pas pour rendre nécessaire l'utilisation de l'algèbre pour résoudre. Les élèves mettent en place des stratégies de résolutions assez performantes. On voit dans le tableau ci-dessous que l'élève a calculé l'aire des triangles avec deux nombres dont la somme vaut 9cm (3,1 et 5,9). Il les a affecté consécutivement à AE et EB sans doute pour vérifier une intuition. En effet on remarque que l'élève a fait une comparaison entre BC et AD et qu'il a noté sur sa copie que BC était plus de deux fois plus grand que AD, ce qui explique les nombres choisis qui sont proches de 3 et 6. Une fois vérifié que E doit être plus près de B que de A, avec une proportion d'un peu plus de deux fois, l'élève trouve la solution en trois essais. Essais avec AE=6,1, l'aire du triangle AED est plus petite que celle du triangle EDC. Puis avec 6,5, l'ordre s'inverse, l'aire du triangle AED est plus grande que celle du triangle EDC.  Reste a essayer des valeurs entre 6,1 et 6,5 assez logiquement l'élève commence par 6,3.