But: Positif ou négatif ?

-démarche de recherche: conjecture, preuve

-mise en application d'outils de conjecture: quelques essais, représentation graphique, tableau de valeurs, programme

-formulation par les élèves d'une conjecture, débat au sein de la classe si au moins un élève répond ni l'un, ni l'autre. D'où la nécessité d'argumenter

-une question simple en apparence qui permet de mettre en valeur les outils de conjecture cité ci-dessus et la nécessité d'une nouvelle méthode pour prouver: la factorisation et le tableau de signes

-une question simple qui permet de travailler et de faire vivre le sens des notions d'inégalité et d'inéquation, en particulier en explicitant en français les quantificateurs il existe et quelque soit. La réponse n'est pas oui on non, mais ça dépend, ce qui incite a se poser une autre question : ça dépend de quoi ? Pour quels nombres de départ le résultat est-il toujours positif ? Négatif ?

Synthèse: Positif ou négatif ?

-Pour conjecturer, on peut penser à ...

-Pour communiquer sans problème, il est judicieux d'écrire "il existe x" ou "quelque soit x", et "si et seulement si" lorsqu'on raisonne par équivalence.

-Pour résoudre une inéquation, on peut penser (dans l'ordre):
    à "tout passer du même côté" en utilisant des théorèmes pour obtenir un 0 d'un côté,
    puis à factoriser (facteur commun ou différence de 2 carrés),
    puis à résoudre des inéquations de 3eme pour ensuite compléter un tableau de signes.

Mise en oeuvre: Positif ou négatif ?

Durée totale: 1 à 2 h.

-il faut laisser assez de temps de recherche personnel pour que chaque élève ait son avis, ses arguments (conjecture ou preuve), écris sur son cahier

-1er temps de gestion des conjectures et arguments des élèves, pour conclure à l'aide de contre exemple que la réponse est "ni oui, ni non" mais ... si un élève au moins la propose. Sinon, on relance la classe en indiquant qu'ils se sont tous trompé et qu'ils ont 5 minutes pour reprendre en réfléchissant aux outils dont ils disposent (représentation graphique, ...)

-Puis la réponse "ça dépend du nombre de départ" amène les questions "pour quels nombre de départ le résultat final est-il positif ? Négatif ?
On relance pour 5/10 minutes de recherche.

-2eme temps de gestion des réponses: ici que des conjectures. Demander en direct qui peut en faire la preuve. Examiner les réponses, mais si c'est nouveau ...
Dans les essais de preuve, figure néanmoins le début de la preuve, que l'on rédige pour se rendre compte à quel moment on bloque !
On arrive jusqu'à "x^2-1<0". On demande si un élève a une idée.
Sinon on relance la classe pour 3 minutes de factorisation.

-3eme temps de correction: on factorise, "(x-1)(x+1)<0".
Et là, on  r...  en demandant de résoudre séparement les inéquations "x-1<0" et "x+1>0"
(le < > est fait exprès pour qu'ils posent la question) 8 minutes.

-4eme temps de gestion: correction de ces 2 inéquations de 3eme.
Puis on présente le début du tableau de signe et on prend le temps de demander aux élèves si "<0" signifie positif ou négatif et on écris + ou - (en les entourant) au dessus de "<0" et puis dans la case correspondant du tableau de signes, puis on leur demande le signe à mettre dans la case "complémentaire" et pourquoi (réinvestissement du raisonnement par équivalence).
On les relance pour 3 minutes pour compléter la ligne du second facteur sur leur cahier.

-5eme temps de correction: fin du tableau de signes,

-Institutionnalisation dans la partie cours

-Résolution d'une autre inéquation pour la prochaine fois