Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 35, si j'obtiens 25, si j'obtiens 28 ?
Le programme est donné sur un temps de mise en train.
Les élèves n'ont pas besoin de la méthode experte de résolution d'équations, une fois le programme modifié, il leur suffit de remonter les calculs, ce programme peut donc être proposé dès la classe de 5ème.
Pour ce programme on ne peut pas remonter le calcul à cause de la dernière étape dans laquelle intervient le nombre de départ.
Il est nécessaire de formuler le programme de calcul, donné "en mots", avec une expression littérale, que l'on va transformer à l'aide de la distributivité, jusqu'à ce que l'expression obtenue corresponde à un programme de calcul, qui lui peut être remonté.
Le problème se ramène donc à un problème plus simple que l'élève sait résoudre.
Une fois le programme modifié, il suffit de remonter les calculs.
Il est important de proposer plusieurs fois ce type de programmes de calcul, en jouant sur les variables didactiques pour que les nombres cherchés soient difficilement accessibles par essais-erreurs, ce qui oblige à utiliser les expressions littérales.
Le fait de soustraire le nombre choisi pose problème à de nombreux élèves qui oublient cette partie du calcul ou soustraient x+3
Les élèves pour la plupart font des essais en essayant de les organiser (« dichotomie ») le troisième nombre (3,25) pose davantage de problème même si de nombreux élèves ont pensé à essayer les nombres 3,1 ; 3,2 ; 3,3 …. Les idées pour organiser les essais sont notées au tableau.
Pourtant, à l'oral, la raison pour laquelle ils n'ont pas remonté le calcul comme dans les séances précédentes émerge difficilement mais donne lieu à la synthèse suivante.
Voici quelques résolutions d'élèves :
L'élève 1 tente une traduction sous forme d'opération à trou
L'élève 2 a une stratégie d'essais / erreurs
L'élève 3 essaye de remonter le calcul
L'élève 4 tente de simplifier le programme de calcul. Il n'écrit pas des égalités mathématiquement correctes, mais on voit le passage de la formulation du programme "en mots" à la formulation en expression littérale. Il modifie ensuite l'expression en utilisant la distributivité, mais ne sait pas terminer.
L'élève 5 modifie le programme de calcul, il utilise le langage algébrique, transforme son expression en mettant en œuvre la distributivité. Comme nous sommes en 5ème (ou début de 4ème) et qu'il ne maitrise pas la résolution experte d'équations, on voit qu'ensuite il remonte le programme en utilisant les opérations réciproques.
La correction ci-dessous est notée au tableau (dictée par un élève) les deux manières de noter (flèches et opérations successives) sont proposées
Institutionnalisation :
On ne peut pas remonter un programme de calcul si on utilise le nombre choisi à la dernière étape
Il est nécessaire de faire régulièrement des mise en train sur ce thème.
Les élèves maitrisent bien mieux l'arithmétique que l'algèbre, la stratégie qu'ils privilégient est l'essais-erreur. A nous de bien choisir les variables didactiques dans nous programmes de calcul pour forcer à l'utilisation de la lettre.
Si la solution cherchée est entière, les élèves auront très rarement recours à la lettre
Une solution fractionnaire sans écriture décimale rendra intéressant l'utilisation d'une expression littérale. Ici il faut trouver le nombre choisi pour que la solution soit zéro.
Au bout de plusieurs programmes de ce type (qui ne se remontent pas) les élèves ont de plus en plus souvent l'idée d'avoir recours à la transformation de l'expression algébrique associée, surtout dans un objectif de rapidité de résolution. Ici on leur demande de trouver le nombre qu'il faut choisir pour trouver 11.
