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mercredi 22 novembre 2017
icar

THEME:  2- Les mises en TRAIN

Ressource 2: Un appui pour la maîtrise du calcul numérique et littéral

 

Au delà de la maîtrise du calcul numérique, une autre fonction du calcul réfléchi nous semble être de préparer le calcul littéral.

Voici une idée de progression d'activités de mise en train qui se situe en amont des chapitres classiques d'algèbre.

Dans un premier temps, les calculs proposés visent à automatiser des méthodes de calcul mental : compléments à l'unité, à la dizaine, à la centaine, maîtrise des tables de multiplication, divisions, calcul sur les fractions.

  • Combien y-a-t-il de 4 pour aller à 10 ?
  • Opération à trous du type 5 + .... = 40
  • Dans 16 combien y a t il de fois 4 ?
  • 7 x .....= 63
  • Écrire 72 comme un produit de deux nombres, trois nombres...
  • Calculer 5/7 de 28
Pour expliciter certaines règles de calcul mental, il peut être utile d'avoir recours à la schématisation.

Par exemple, pour les additions :

 
33 + 19 = ou  

528 + 1314 = 1310 + 520 + 8 + 4 = 1830 + 12 = 1842 en montrant les groupes

Ou bien pour les multiplications :

15 x 99 =...... Réponse spontanée 15 x 100 – 15 (justifiée en 5ème à l'aide de la distributivité) 15 x ( 100 - 1)

 

48 x 5  

32 x 25 = 8 x 4 x 25 = 8 x 100 = 800
32 x 25 = 32 x 100 / 4 = 3200 / 4 = 800
32 x 25 = 32 x 50 / 2 = 1600 / 2 = 800
156 est divisible par 13 car 156 = 130+26 = 13x10+13x2 = 13x12

On utilise aussi cette schématisation pour travailler avec les élèves la multiplication d'une fraction par un nombre .

Calculer les 2/3 de 12

La multiplication et la division se présentent comme deux opérations successives et commutatives sans l'obstacle de la syntaxe ou sans les présenter comme deux opérations séparées ; le but étant une prise de conscience par l'élève des différentes stratégies, plus ou moins efficaces, qui s'offrent à lui. Dans un second temps, à travers d'autres exercices, l'élève pourra choisir la méthode qui semble mieux lui convenir ou comprendra qu'il peut adapter son choix à la situation.

Le calcul réfléchi peut aussi nous amener à appliquer successivement deux opérations et à réfléchir aux priorités opératoires sans écrire ces opérations en ligne.

  • Je choisis un nombre
  • Je le multiplie par 3
  • J'ajoute 5 au résultat
  • Je choisis un nombre
  • Je lui ajoute 5
  • Je multiplie le résultat par 3

On demande alors aux élèves si les deux programmes vont donner le même résultat puis on fait fonctionner le programme pour plusieurs nombres. On peut introduire l'écriture en ligne des calculs en faisant ressentir la nécessité de règles de priorités et l'utilisation des parenthèses. On peut même introduire une formule.

 

Pour le niveau 4ème, nous ajoutons des calculs sur les relatifs et comprenant des carrés (ou des puissances autres, suivant le moment de l'année). Le calcul réfléchi permet dans ce cas un entrainement au calcul sur les relatifs.

 

Dès la classe de 5ème, ces calculs enchainés (et réitérés) seront généralisés en ayant recours aux lettres. Dans ce cas, le recours aux flèches permet de bien visualiser les éléments du calcul qui restent fixes et ceux qui varient (calcul procédural). Nous utiliserons donc le biais du calcul réfléchi pour entrer dans le calcul littéral.

 

Voici des exercices dans lesquels les simplifications d'écriture s'imposent et qui utilisent la factorisation :

  • 3h + 25 min + 6 s + 5h + 12 min = (3 +5) h + ( 25+12) min + 6s = 8h + 37 min + 6s
  • 3/4 + 7/4 = 3 x 1/4 + 7 x 1/4 = 10/4
  • A quoi est égal -3 x + 15 x pour tout nombre x ?
  • A quoi est égal 4 x - 7 pour tout nombre x.
  • Écris de façon plus simple : 12 x – 8 x, …
  • Complète pour que les expressions soient égales pour tout nombre x : 5 x + ... = 2 x
  • Complète pour que les expressions soient égales pour tout nombre x : 45 x = 12 x + …
  • Je choisis un nombre, je lui ajoute 4 je multiplie le résultat par 3 puis je retranche deux fois le nombre de départ. Quel est le nombre choisi si je trouve 8 ?
 On remarquera que nous insistons sur la quantification (pour tout … ) car il nous semble important de préciser le statut des égalités dans le calcul littéral. Ceci n'est pas toujours fait (notamment dans les manuels). Nous pensons que cela ne permet pas aux élèves de faire la distinction entre une propriété générale et des égalités vraies pour un ou deux valeurs. Ainsi on dit toujours aux élèves que 3x + 7 = 10x est faux (en sous-entendant, que ce n'est pas vrai pour tout nombre x) mais on leur demande parfois résoudre l'équation 3x + 7 = 10x (en sous-entendant, cette fois-ci, « existe-t-il un (ou des) nombre(s) tels que ... »). 

A travers ces petits exercices, nous visons l'acquisition d'automatismes de calcul (numériques ou littéraux) qui serviront dans des calculs plus complexes. Nous pensons également que favorisons une meilleure compréhension des opérations sur les nombres fractionnaires ou relatifs. Nous introduisons des outils transitoires tels que les schémas et enfin nous souhaitons favoriser l'évolution des procédures plus ou moins expertes par la confrontation entre les élèves.