ENSEIGNER
vendredi 24 novembre 2017
icar

THEME: Distributivité et identités remarquables
France  -  Troisième  -  Maths

Activité 1: progression de mise en train vers les identités remaquables

 

Vers les Identités Remarquables en 3ème :

un exemple de progression utilisant les programmes de calculs sur le temps de mise en train

La consigne commune à tous ces énoncés est : vous effectuerez des essais, énoncerez une conjecture et rédigerez la preuve de votre conjectures (ou essais / conjecture / preuve)

Programme 1 :

Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ.

Conjecture :

1) Il semble que quelque soit le nombre choisi on obtient la somme de son double et 1 (ou deux fois le nombre choisi plus 1)
2) Il semble que quelque soit le nombre entier choisi on obtient un nombre impair.

Preuve :

si x est le nombre choisi, le programme s'écrit :

(x+1)2 -x2 = (x+1) (x+1) -x2 = x2+2 x + 1 -x2= 2 x + 1

(remarque : en marquant bien l'utilisation de la distributivité comme propriété d'algèbre et 2 x +1 qui est un nombre impair si x est un entier)

But :

réactiver l'écriture des nombres pairs / impairs, la double distributivité, obtenir une conjecture dépendant de la nature du nombre choisi.

Synthèse (trace écrite) :

Si n est un nombre entier, une nombre pair peut s'écrire 2n, un nombre impair 2n+1, la conjecture peut dépendre de la nature des nombres choisis.

(et aussi si cela n'a pas été fait avant : Pour prouver que quelque chose est vrai pour tous les nombres, on rédige une preuve en désignant ces nombres par une ou des lettre(s) : n ou x etc... Pour rédiger une preuve en algèbre, on utilise, comme en géométrie, des propriétés. Par exemple : la distributivité.)

Programme 2 :

Je choisis un même nombre pour les deux programmes :

Programme A :

je le multiplie par 2 puis j'ajoute 1

Je calcule le carré du résultat

Programme B

Je le multiplie par 2 puis j'ajoute 3

Je multiplie le résultat par le double du nombre choisi

Je soustrais le double du nombre choisi puis j'ajoute 1

Conjecture :

Il semble que quelque soit le nombre choisi on obtient le même résultat pour les deux programmes

Preuve :

si x est le nombre choisi, le programme A s'écrit : (2 x+1)2 = (2x+1) (2x+1) = 4x2+ 4x+ 1

le programme B s'écrit (2x+3)2x-2x+1= 4x2+6x-2x+1= 4x2+ 4x+ 1

But :

Travail sur les carrés avec la double distributivité et nécessité de modifier les deux programmes pour prouver l'égalité (casser l'idée de transformer le 1er programme pour aboutir la formule conjecturée)

Synthèse :

pour prouver que deux expressions sont égales pour tout x on doit parfois les transformer (séparément) toutes les deux jusqu'à obtenir une même expression. Attention :

Programme 3 :

- on choisit trois nombres consécutifs
- on calcule le carré de celui du milieu
- on lui soustrait le produit des extrêmes.

Conjecture :

Il semble que quelque soit le nombre choisi on obtient 1

Preuve :

si x, x+1, x+2 sont les nombres choisis,

le programme s'écrit : ( x+1)2 -x(x+2)= (x+1) (x+1) -x(x+2)= x2+2 x + 1 -x2-2 x =1

et si on choisit x-1, x, x+1 le programme s'écrit x2-(x-1) (x+1)= x2 -( x2 +x-x-1)=1

But :

réactiver nombres consécutifs et leur écriture, travail sur le choix de la variable parmi les consécutifs.

Synthèse :

trois nombres consécutifs sont forcément entiers et peuvent s'écrire, x, x+1, x+2 ou .x-1, x, x+1. La preuve peut être plus facile selon ce que l'on choisit.

Programme 4 :

on choisit trois nombres consécutifs
- on calcule le carré du plus grand et le carré du plus petit
- on soustrait le plus petit au plus grand

Conjecture :

Il semble que quelque soit le nombre choisi on obtient :

  1. Un multiplie de 4 si on a choisit un nombre entier

  2. 4 fois le nombre central

  3. Un nombre pair si on choisi un nombre entier correct mais moins intéressante et les élèves qui aurait choisi des « demis » trouveraient aussi des nombres pairs donc peuvent oublier d'écrire une restriction sur les nombres choisis)

Preuve :

si x, x+1, x+2 sont les nombres choisis, le programme s'écrit : ( x+2)2 -x2 = (x+2) (x+2) -x2 = x2+2 x +2 x+ 4 -x2 =4x+4= 4(x+1) et si on choisit x-1, x, x+1 le programme s'écrit (x+1)2 -(x-1)2 = x2 +x+x+1 -( x2 -x-x+1)=1=4x (la seconde preuve nécessite deux doubles distributivités au lieu d'une dans la première mais la forme développée correspond à la conjecture ce qui est plus facile à traiter par les élèves)

But :

utiliser les consécutifs, choix de la variable, plusieurs conjectures intéressantes

Synthèse :

Il peut exister plusieurs conjectures correspondant au programme, il faut essayer de choisir la plus intéressante.

Programme 5 :

on choisit deux nombres quelconques

on calcule la somme de leurs carrés et on ajoute le double de leur produit

    On pourra choisir : 6,1 et 0,9 ; puis 4 et 3, puis 1,6 et 3,4

Conjecture :

Il semble que quelque soit le nombre choisi on obtient : le carré d'un nombre ou le carré de la somme des nombres choisis

Preuve :

si x, y sont les nombres choisis, le programme s'écrit : x2 +y2 +2xy On ne sait pas transformer cette expression mais comme on veut prouver que cette expression est égale à (x+y)2 on la développe avec la double distributivité : (la preuve nécessite d'utiliser l'expression de la conjecture à laquelle on voudrait aboutir pour la développer et obtenir l'expression du programme) (x+y)2 =x2 +xy+xy+y2 = x2 +y2 +2xy

But :

introduire la première identité remarquable

Synthèse :

Dans ce programme, on est obligé d'utiliser deux lettres car les nombres choisis n'ont pas de lien entre eux et :


Programme 6 :

on choisit deux nombres quelconques

on calcule la somme de leurs carrés et on retranche le double de leur produit

    On pourra choisir : 7,3 et 2,3 ; puis 5 et 3, puis 8,4 et 3,4

Conjecture :

Il semble que quelque soit le nombre choisi on obtient : le carré d'un nombre ou le carré de la différence des nombres choisis

Preuve :

si x, y sont les nombres choisis, le programme s'écrit : x2 +y2 -2xy On ne sait pas transformer cette expression mais comme on veut prouver que cette expression est égale à (x-y)2 on la développe avec la double distributivité : (la preuve nécessite d'utiliser l'expression de la conjecture à laquelle on voudrait aboutir pour la développer et obtenir l'expression du programme) (x-y)2 =x2 -xy-xy+y2 = x2 +y2 -2xy

But :

introduire la deuxième identité remarquable

Synthèse :

Dans ce programme, on est obligé d'utiliser deux lettres car les nombres choisis n'ont pas de lien entre eux et :


But :

introduire la deuxième identité remarquable :

Pour aller plus loin :

Programme 7 :

choisir un nombre
ajouter 4 au nombre choisi
soustraire 4 au nombre choisi
multiplier les 2 résultats précédents ajouter 16 au résultat précédent

Programme 8 :

Je choisis un nombre
Je le multiplie par 4 puis j'ajoute 12
Je multiplie le résultat par le nombre choisi
J'ajoute 9