ENSEIGNER
samedi 23 septembre 2017
icar

THEME: Distributivité et identités remarquables
France  -  Troisième  -  Maths

Activité 5: 3ème programme (ancienne présentation)

 

Pour tout nombre : (x+1)² - x(x+2) = 1

  Énoncé du problème

1ère étape :

  •   on choisit trois nombres consécutifs : 4 ; 5 et 6
  •  au tableau on écrit :

    4      5      6
    25 - 4 x 6 = 1

On explique en même temps que :
  •   on choisit trois nombres consécutifs
  •   on calcule le carré de celui du milieu
  •   on lui soustrait le produit des extrêmes
  •   qu'obtient-on ?


2ième étape :
  •   on recommence avec 10 ; 11 et 12

10     11     12
121 - 10 x 12 = 1

Choisir trois autres exemples
Écrire une conjecture
Démontrer votre conjecture


Mise en oeuvre: 3ème programme (ancienne présentation)

Durée totale : 1 heure

Matériel :

  • un transparent et un feutre par groupe pour la mise en commun

  • un transparent de consignes à projeter au rétro ou vidéo-projecteur

Déroulement :

  • 10 ' (y compris installation de la classe) : l'enseignant propose la première étape et la deuxième étape au tableau en classe entière

  • 10 ' : il invite ensuite les élèves à répondre individuellement aux questions 1,2 et 3

  • 20' : l'enseignant constitue des groupes de trois à quatre élèves et leur propose de se mettre d'accord sur une conjecture et de la démontrer - les réponses sont écrites sur un transparent

L'enseignant circule dans la classe et repère les différentes méthodes utilisées pour organiser la présentation à la classe

Remarque : il peut être nécessaire de laisser plus de temps aux élèves que ce qui est prévu ici 

But: 3ème programme (ancienne présentation)

  • réinvestir les régles de manipulation algébriques de 5ème et 4ème

  • initiation à la démonstration algébrique

Liens avec les principes

  • nécessité d'introduction de la lettre

  • utilisation des propriétés d'algèbre comme outil de preuve

  • familiarisation de l'élève avec la démarche de recherche 

Synthèse: 3ème programme (ancienne présentation)

En mathématiques, pour prouver que quelque chose est toujours vrai, on rédige une démonstration.

Pour prouver que quelque chose est vrai pour tous les nombres, on rédige une preuve en désignant ces nombres par une ou des lettre(s) : n ou x etc...

Pour rédiger une preuve en algèbre, on utilise, comme en géométrie, des propriétés. Par exemple : la distributivité.

Pour prouver que deux expressions sont toujours, obligatoirement, égales on peut les transformer séparément jusqu'à obtenir une même expression

Pour tout nombre entier n son suivant est n+1 et son précédent n-1

Réactions d'élèves: 3ème programme (ancienne présentation)

Procédures (correctes ou erronées) souhaitées :

  • utilisation de la lettre

  • traduction algébrique de l'information « nombres consécutifs »

  • modification d'un membre pour obtenir l'autre

  • développement, double développement

  • distributivité du signe négatif devant une parenthèse; on notera que cette difficulté technique est variable en fonction du choix de la variable

Analyse des productions d'élèves

  • perte de l'information « consécutifs » ; des choses très intéressantes apparaissent au sujet de la manière d'écrire que trois nombres sont consécutifs :

  • utilisation de l'ordre alphabétique pour traduire l'information « nombres consécutifs »

  • mise en indice ou en exposant : a+1 ; a+2 et a+3 et a+1 ; a+2 et a+3

  • introduction du modèle prototypique des nombres consécutifs que sont 1 ; 2 et 3 mais aussi 1a ; 2a et 3a ou bien a¹ ; a² et a³ voire a1 ; a2 et a3

  • retour à un exemple générique 1 ; 2 et 3

  • lien erroné avec le théorème de Pythagore par effet de contrat

Le choix de la variable a une influence sur la difficulté du développement à effectuer. La présentation faite au tableau des tous premiers exemples doit également probablement influencer les élèves dans leur choix, selon que l'on présente 4 ; 5 et 6 ou 5 accompagné de 4 et 6.

Les élèves éprouvent souvent des difficultés à écrire correctement leur conjecture « on veut démontrer que, quelques soient les nombres consécutifs a et b, on a ... » : soit la formule à établir est proposée telle qu'elle sans explication, soit elle est considérée comme déjà établie du fait de la présence de nombreux exemples (travail sur la notion de preuve). L'explicitation du quantificateur « quelques soient » nous semble ici fondamentale.