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vendredi 24 novembre 2017
icar

THEME: Vers les équations
France  -  Troisième  -  Maths

Activité 5: Dans un carré...

 

Énoncé du problème

Niveau(x) concerné(s) : 3ème

(...après l'introduction des règles de calcul avec les racines carrées ; en classe, seul puis à deux ou en groupe...)




Sur le dessin ci-dessus :
  • ABCD est un carré
  • AE = AH = CG = CF = 2,4 cm
  • L'aire de la bande hachurée est égale à 30 cm2

    Trouver la valeur exacte du côté du carré


Mise en oeuvre: Dans un carré...

Après le temps de travail personnel, faire une mise en commun sur la nature de EFGH : c’est un rectangle.

Les élèves risquent de se perdre dans des preuves complexes. Ce n’est pas l’objectif de l’exercice.
Une preuve simple : utilisation des angles de 45°…

Laisser ensuite chercher car l’introduction d’une lettre n’est pas automatique.
De plus ce qui est très riche est la diversité des méthodes :

  •     Choisir AB = x

  •     Choisir EB = x

  •     Calculer directement avec le théorème de Pythagore la longueur EH ou FG en déduire EF puis EB…

Réactions d'élèves: Dans un carré...

Toutes les méthodes sont utilisées et la mise en commun est donc très riche.

EB = x
On obtient des équations équivalentes à :
(x + 2,4)² – x² – 2,4² = 30
Ensuite travail de développement, simplification…
d’où x = 6,25
le côté du carré est 8,65.

AB = x
On obtient des équations équivalentes à :
x² – 30 = 2,4² +(x – 2,4)²
Ensuite travail de développement, simplification…
on obtient x = 8,65
le côté du carré est 8,65.

Utilisation du théorème de Pythagore pour calculer EH.
Les élèves obtiennent EH² = 11,52 puis EH = sqrt 11,52 . Dans la correction on fait apparaître EH = 2,4 sqrt 2
Ils calculent EF = 30/sqrt11,52. Il faut alors calculer EB ou BF. C’est un bon exercice de réinvestissement, où le plus difficile est, pour l’élève, de s’engager dans le calcul.
Dans cette méthode l’élève a rarement posé EB = BF = x. Il obtient donc EB² + BF² = 900/11,52. Une aide au calcul avec radicaux est souvent nécessaire. Ensuite cela se passe assez bien car, 2 EB² = 78,125 puis EB² = 39,0625 et enfin EB = 6,25; le côté du carré est 8,65.
Dans la correction on peut utiliser EF = 30/(2,4×sqrt2) = 12,5/sqrt 2.
Puis l’équation 2 x² = (12,5/sqrt2)² soit 2 x² = 12,5²/2
puis x² = 12,5²/4 soit la solution positive x = 12,5/2 = 6,25

C’est un bon moment pour faire écrire dans le cours que la diagonale d’un carré de côté a mesure a