ENSEIGNER
samedi 23 septembre 2017
icar

THEME: Vers la preuve
France  -  Cycle 4   -  Maths

Activité 4: Programme de calcul pour prouver

 
Faire fonctionner le programme pour trois nombres de votre choix
Que constatez-vous ?
Faites une conjecture. Démontrez la.

But: Programme de calcul pour prouver

· Mettre en valeur la démarche de recherche : essais, conjecture, preuve. (principe 6)

· Utilisation de la formule de distributivité.(principe 7)

· Maitrise du calcul numérique et littéral.(principe 3)

· Introduction de la lettre pour prouver.(principe 2)

Mise en oeuvre: Programme de calcul pour prouver

Ces programmes peuvent être utilisés en mise en train. (cf. rubrique « Se former », thème 2 « Mise en train »)
Les élèves travaillent individuellement. Ils peuvent choisir tout nombre pour tester le programme (nombres entiers, nombres décimaux, nombres relatifs, nombres fractionnaires…). Ils présentent ensuite leurs différentes stratégies à la classe. Chaque présentation est discutée.

Prolongement: Programme de calcul pour prouver

On pourra proposer aux élèves de créer leurs propres programmes que leurs camarades devront découvrir en le faisant fonctionner plusieurs fois. Ils seront donc amenés à mettre en œuvre des stratégies de recherches. L'élève responsable apporte son programme de calcul, il le fait fonctionner une fois. Ensuite ses camarades proposent des nombres avec lesquels le faire fonctionner.

Synthèse: Programme de calcul pour prouver

Pour prouver il est nécessaire d’introduire une lettre. L’utilisation des règles de calculs algébriques (distributivité) permettent de démontrer la conjecture.

Réactions d'élèves: Programme de calcul pour prouver

On pourra proposer des programmes de calcul dont le résultat (remarquable) peut être prouvé grâce aux propriétés algébriques. Le programme ci-dessus renvoit à 12 comme résultat pour tout nombre de départ. Les élèves peuvent remarquer ce résultat et le prouver grâce à la distributivité.

Copie 1, 1bis :

Il y a 3 essais avec trois nombres entiers. Le programme de calcul est testé par étapes pour chaque nombre (une ligne par étape). Dans la conjecture, le quantificateur « pour tout nombre » est mis en évidence. La preuve est réalisée en introduisant la lettre « je choisis x ». Elle est réalisée par étapes successives en analogie avec les étapes des essais.

Copie 2 :

Il y a 2 essais avec deux nombres entiers. Le programme de calcul est testé par étapes pour chaque nombre (une ligne par étape). Une erreur de calcul au résultat final est à noter. Cela n’empêche pas l’élève d’écrire une conjecture. Cependant, elle l’empêche de conclure sa preuve. Dans la conjecture, le mot « toujours » sous-entend le quantificateur « pour tout nombre ». La preuve est réalisée par étapes successives en analogie avec les étapes des essais.

Copie 3 :

Il y a 3 essais avec trois nombres entiers. Le programme de calcul est testé par étapes pour chaque nombre (une ligne par étape). Dans la conjecture, les mots « à chaque fois » sous-entendent le quantificateur « pour tout nombre ». L’élève pense prouver sa conjecture à l’aide d’un nombre, ce qui laisse penser qu’il n’a pas intégré la preuve comme étant une justification pour tout nombre.

Copie 4 :

Il y a 3 essais avec trois nombres entiers. Le programme de calcul est testé par étapes pour chaque nombre (une ligne par étape). Dans un de ses essais, l’élève a fait une erreur de calcul. Il pense avoir trouvé un contre-exemple et conjecture qu’il ne peut rien démontrer.